Benford's law strikes back: no simple explanation in sight for mathematical gem
Die Autoren zeigen in diesem Artikel, dass Untersuchungen, die oft durch Anregung von Lehrerinnen und Lehrern in Mathematikkursen zum Benfordschen Gesetz (BL) durchgeführt werden, mit großer Vorsicht zu genießen sind. Bezieht man sich auf Aussagen von W. Fellers klassischem Werk ``An introduction to probability theory and its applications'', so begeht man leicht einen Fehler, der in dieser Art noch nicht aufgezeigt wurde. Für einen Lehrenden wäre es wünschenswert, wenn es neben einem exakten mathematischen Beweis auch noch eine heuristisch leicht nachvollziehbare Erklärung für das Benfordsche Gesetz gäbe, denn eine richtige, allgemeingültige Erklärung eines allgemeinen Prinzips ist oftmals mehr Wert als ein detailliertes formales Argument. Die Hoffnung, eine kurze Ableitung des Gesetzes zu erhalten, erscheint jedoch vergeblich. Um dies zu untermauern, wird die Aussage untersucht, dass ``eine positive Zufallsvariable \(X\) dem BL genau dann folgt, wenn \(\log_{10} X\) gleichmäßig mod\,1 verteilt ist'' (1). Dies wird oft freimütig uminterpretiert zur Aussage: ``Ist die Streuung einer Zufallsvariablen \(X\) sehr groß, dann ist \(\log_{10} X\) näherungsweise gleichmäßig mod\,1 verteilt'' (2). Die Folgerung aus (1) und (2) ist, dass alle Zufallsvariablen mit großer Streuung näherungsweise dem BL folgen. Dies klingt sehr überzeugend. Aussage (2) ist aber falsch, wie mit Hilfe der Kolmogorov-Smirnov-Distanz gezeigt wird. Ein weiterer Grund für die Langlebigkeit dieses Irrtums ist die Aussage, ``dass jede Zufallsvariable \(X\) mit sehr großer Streuung näherungsweise gleichmäßig mod\,1 verteilt ist'' (3). (3) impliziert aber nicht (2) und ist nicht dazu geeignet, das BL zu begründen. Eine falsche Auffassung ist auch die, dass eine große Streuung bzw. logarithmische Streuung automatisch eine bessere Übereinstimmung mit dem BL liefert. Zur Zeit sieht es nicht so aus, als ob eine simple Erklärung mit exaktem mathematischen Hintergrund für das BL gäbe.
scientific article; zbMATH DE number 5897306