Linear independence of continued fractions
Hauptergebnis der vorliegenden Arbeit ist folgende hinreichende Bedingung für die lineare Unabhängigkeit regulärer Kettenbrüche: Für \(j\in \{1,...,K\}\) sei \((a_{j,n})_{n=1,2,...}\) eine Folge in \(\mathbb{N}\), so daß\ für alle genügend großen \(n\) die Ungleichungen \(a_{j+1,n}>a_{j,n}(1+\frac{\varepsilon}{n\log n})\) für \(j=1,...,K-1\) sowie \(a_{1,n+1}>a_{K,n}^{K-1}(1+\frac{1}{n})\) gelten; dabei ist die reelle Zahl \(\varepsilon>1\) fest vorgegeben. Dann sind \(1,\alpha_1,...,\alpha_K\) über \(\mathbb{Q}\) linear unabhängig, wobei \(\alpha_j:=[a_{j,1},a_{j,2},...]\) für \(j=1,...,K\) gesetzt ist. Einige Anwendungsbeispiele werden gegeben; so sind z.B. 1 und die \(K\) Kettenbrüche \([j\cdot 2^K,...,j\cdot 2^{K^n},...] \enspace (j=1,...,K)\) linear unabhängig.
scientific article; zbMATH DE number 2184595