A method of determining the constants in the bimodal fourth degree exponential function.
type: Item
instance of: scholarly article
title: A method of determining the constants in the bimodal fourth degree exponential function.
zbMATH Open document ID: 59.1171.02
author: A. L. O'Toole
published in: Annals of Mathematical Statistics
publication date: 1933-01-01T00:00:00Z
review text: Verf. untersucht exponentielle Verteilungsfunktionen mit einem Polynom vierten Grades im Exponenten unter dem Gesichtspunkt der Methode der Momente. Die Kurven sind im allgemeinen unsymmetrisch und haben zwei dichteste Werte (mode). Für die Diskussion genügt es, Funktionen zu betrachten, in denen das Polynom kein kubisches Glied enthält: \[ y=ke^{-(x^4+px^2+qx)}. \] Die Kurven lassen sich nach Anzahl und Art der dichtesten Werte klassifizieren; man erhält die Maxima als die reellen Wurzeln der Gleichung dritten Grades \(y'=0\). Drei Hauptformen sind zu unterscheiden \((p=q=0\); \(p\neq 0, q=0\); \(p=0, q\neq 0\)); die ersten beiden Formeln sind symmetrisch, die dritte ist unsymmetrisch; im ersten und dritten Fall ist nur ein dichtester Wert vorhanden, die zweite Form weist zwei unterschiedene Maxima auf. Verf. berechnet die Konstanten \(p\) und \(q\) mit Hilfe der vier ersten Momente (\(\mu _1\) bis \(\mu _4\)), \(k\) ergibt sich mittels des nullten Moments, das - nachdem \(p\) und \(q\) vorliegen - durch mechanische Quadratur zu bestimmen ist. Die Kurven der ersten und zweiten Form werden an einem konstruierten Beispiel veranschaulicht. In der Einleitung (und im Titel) der Arbeit nimmt Verf. Bezug auf die von \textit{R. A. Fisher} entwickelte Anpassungsmethode der größten ``likelihood'' (vgl. die im folgenden Referat zitierte Arbeit) - likelihood darf übrigens nicht mit Wahrscheinlichkeit gleichgesetzt werden. In der zweiten Arbeit werden für die praktische Rechnung geeignete Formeln für den allgemeinen Fall abgeleitet; dazu wird von den ersten sechs und vom achten Moment Gebrauch gemacht. Verf. rechnet ein Beispiel einer unsymmetrischen Verteilung mit zwei Spitzen durch. Die erreichte Darstellung der Beobachtungen durch die Kurve vermag nach Ansicht des Ref. in diesem Falle kaum zu befriedigen.
zbMATH DE Number: 2546693
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.1214/aoms/1177732802
OpenAlex ID: W2063233551
DOI: 10.1214/AOMS/1177732802
description: scientific article; zbMATH DE number 2546693