Über Abbildungen von endlichdimensionalen Räumen auf Teilmengen Car\-tesischer Räume.
Der dimensionstheoretische Einbettungssatz findet hier eine interessante Verallgemeinerung: Ein kompakter \(n\)-dimensionaler Raum läßt sich stetig auf eine Teilmenge des euklidischen \(R_{n+m} (m=1,2,\dots )\) abbilden, derart daß\ für jedes \(k=2,3,\dots \) die Menge der Punkte des \(R_{n+m}\), die mindestens \(k\) Urbilder besitzen, höchstens \(\Big ( n-(k-1)m\big )\)-dimensional ist. Für \(m=n+1\) ist das der \textit{Menger-Nöbeling}sche Einbettungssatz, für den sich hier ein neuer einfacher Beweis ergibt. Der Beweis beruht auf dem bekannten Satz: In einem vollständigen metrischen Raum \(R\) hat eine Folge von abzählbar vielen in \(R\) offenen und in \(R\) dichten Mengen einen in \(R\) dichten Durchschnitt, ist also nicht leer; dasselbe gilt, wenn man \(G_{\delta }\) statt der offenen Mengen nimmt. Der Raum \(R\), auf den dieser Satz angewendet wird, ist dabei der Raum der stetigen Abbildungen des \(n\)-dimensionalen kompakten Raumes \(A\) in eine Vollkugel \(V\) des euklidischen \(R_{n+m}\). Sind \(A\) und \(B\) zwei kompakte metrische Räume, so ist der - in bekannter Weise metrisierte - Raum \(\mathfrak F(A,B)\) der stetigen Abbildungen von \(A\) in \(B\) vollständig. In ihm bilden die \(\varepsilon \)-schlichten Abbildungen, d. h. diejenigen Abbildungen, bei denen der Durchmesser der Urbildmenge eines jeden Punktes von \(B\) kleiner als \(\varepsilon \) ist, eine offene Menge \(\mathfrak S_{\varepsilon }\). Der Durchschnitt \(\mathfrak S\) der \(\mathfrak S_{\frac {1}{n}}\) \((n=1,2,\dots )\) ist offenbar die Menge der topologischen Abbildungen. Zum Beweis der \textit{Menger-Nöbeling}schen Eindeutigssatzes hat man also zu zeigen: Ist \(A\) \(n\)-dimensional, \(B=V_{2n+1}\) eine Vollkugel des \(R_{2n+1}\), so sind die \(\mathfrak S_{\varepsilon }\) in \(\mathfrak F(A,B)\) dicht. Daß\ man in der Tat jede stetige Abbildung von \(A\) in \(V_{2n+1}\) durch eine \(\varepsilon \)-schlichte Abbildung beliebig gut approximieren kann, ergibt sich leicht mit Hilfe der \textit{Alexandroff}schen Nervkonstruktion für hinreichend feine Pflasterüberdeckungen von \(A\). Der Beweis liefert die Dichtigkeit von \(\mathfrak S\) in \(\mathfrak F(A,B)\) und damit den Satz, daß\ jede stetige Abbildung von \(A\) in \(V_{2n+1}\) durch beliebig kleine Abänderung in eine topologische verwandelt werden kann. Dieselbe Methode liefert auch \textit{Nöbeling}s Ergebnis, daß\ die Menge der Punkte des \(R_{2n+1}\) mit höchstens \(n\) rationalen Koordinaten ein \(n\)-dimensionaler Universalraum ist. Der Beweis des allgemeinen Satzes verläuft ähnlich: Ist \(B_{k\varepsilon }(f)\) die Menge der Punkte von \(B\), deren Originalmenge \(k\) verschiedene paarweise um mindestens \(\varepsilon \) vonein\-ander entfernte Punkte enthält, und \(B_k(f)=\sum \limits _{\nu =1}^{\infty }B_{k\frac {1}{\nu }}(f)\), so ist die Menge der Punkte von \(\mathfrak F(A,B)\), für die \(\dim B_{k\varepsilon }(f)\leqq l\) ist, bei festem \(k,\varepsilon,l\) ein \(G_{\delta }\) in \(\mathfrak F(A,B)\), und wenn man noch weiß, daß\ diese \(G_{\delta }\) alle in \(\mathfrak F(A,B)\) dicht sind, so ist nach dem Durchschnittssatz auch die Menge der \(f\) mit dem \(B_k(f)\leqq l\) bei festem \(k\) und \(l\) in \(\mathfrak F(A,B)\) dicht, also nicht leer. Ist \(A\) \(n\)-dimensional, \(B=V_{n+m}\) eine Vollkugel des \(R_{n+m}\), so zeigt eine ähnliche Approximation wie im spezielleren Fall, daß\ die \(f\) mit \(\dim B_{k\varepsilon }(f)\leqq n-(k-1)m\) und daher die \(f\) mit \(\dim B_k(f)\leqq n-(k-1)m\), also auch deren Durchschnitt für \(k=2,3,\dots \) (beschränkt durch \(-1\leqq n-(k-1)m\)) ein in \(\mathfrak F(A,B)\) dichtes \(G_{\delta }\) bilden. Das ist der anfangs genannte Satz, mit der Verschärfung, daß\ man jede Abbildung von \(A\) in \(R_{n+m}\) durch eine Abbildung der im Satz angegebenen Art beliebig gut approximieren kann. Für Abbildungen eines kompakten \(n\)-dimensionalen Raumes \(A\) in einen euklidischen \(R_{n-m}\) \((m\geqq 0)\) kann mit derselben Methode bewiesen werden: \(A\) läßt sich stetig auf eine Teilmenge des \(R_{n-m}\) abbilden, derart daß\ die Urbildmenge eines jeden Punktes höchstens \(m\)-dimensional ist; die Abbildungen dieser speziellen Art sind im Raum aller stetigen Abbildungen von \(A\) in \(R_{n-m}\) dicht. Für \(m=0\) handelt es sich insbesondere um ``kontinuumtreue'' Abbildungen.
scientific article; zbMATH DE number 2547078