Über Abbildungen von endlichdimensionalen Räumen auf Teilmengen Car\-tesischer Räume.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über Abbildungen von endlichdimensionalen Räumen auf Teilmengen Car\-tesischer Räume.
zbMATH Open document ID: 59.1267.04
published in: Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-Mathematische Klasse
publication date: 1933-01-01T00:00:00Z
review text: Der dimensionstheoretische Einbettungssatz findet hier eine interessante Verallgemeinerung: Ein kompakter \(n\)-dimensionaler Raum läßt sich stetig auf eine Teilmenge des euklidischen \(R_{n+m} (m=1,2,\dots )\) abbilden, derart daß\ für jedes \(k=2,3,\dots \) die Menge der Punkte des \(R_{n+m}\), die mindestens \(k\) Urbilder besitzen, höchstens \(\Big ( n-(k-1)m\big )\)-dimensional ist. Für \(m=n+1\) ist das der \textit{Menger-Nöbeling}sche Einbettungssatz, für den sich hier ein neuer einfacher Beweis ergibt. Der Beweis beruht auf dem bekannten Satz: In einem vollständigen metrischen Raum \(R\) hat eine Folge von abzählbar vielen in \(R\) offenen und in \(R\) dichten Mengen einen in \(R\) dichten Durchschnitt, ist also nicht leer; dasselbe gilt, wenn man \(G_{\delta }\) statt der offenen Mengen nimmt. Der Raum \(R\), auf den dieser Satz angewendet wird, ist dabei der Raum der stetigen Abbildungen des \(n\)-dimensionalen kompakten Raumes \(A\) in eine Vollkugel \(V\) des euklidischen \(R_{n+m}\). Sind \(A\) und \(B\) zwei kompakte metrische Räume, so ist der - in bekannter Weise metrisierte - Raum \(\mathfrak F(A,B)\) der stetigen Abbildungen von \(A\) in \(B\) vollständig. In ihm bilden die \(\varepsilon \)-schlichten Abbildungen, d. h. diejenigen Abbildungen, bei denen der Durchmesser der Urbildmenge eines jeden Punktes von \(B\) kleiner als \(\varepsilon \) ist, eine offene Menge \(\mathfrak S_{\varepsilon }\). Der Durchschnitt \(\mathfrak S\) der \(\mathfrak S_{\frac {1}{n}}\) \((n=1,2,\dots )\) ist offenbar die Menge der topologischen Abbildungen. Zum Beweis der \textit{Menger-Nöbeling}schen Eindeutigssatzes hat man also zu zeigen: Ist \(A\) \(n\)-dimensional, \(B=V_{2n+1}\) eine Vollkugel des \(R_{2n+1}\), so sind die \(\mathfrak S_{\varepsilon }\) in \(\mathfrak F(A,B)\) dicht. Daß\ man in der Tat jede stetige Abbildung von \(A\) in \(V_{2n+1}\) durch eine \(\varepsilon \)-schlichte Abbildung beliebig gut approximieren kann, ergibt sich leicht mit Hilfe der \…
reviewed by: Erika Dr. Pannwitz
zbMATH DE Number: 2547078
author: Witold Hurewicz
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2547078