Independant arcs of a continuous curve.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Independant arcs of a continuous curve.
zbMATH Open document ID: 59.1269.04
DOI: 10.2307/1968342
author: L. Zippin
published in: Annals of Mathematics. Second Series
publication date: 1933-01-01T00:00:00Z
review text: Die Arbeit behandelt den \(n\)-Bogensatz (vgl. z. B.\textit{Menger}, Kurventheorie (1932; F. d. M. 58), S. 216ff., wo sich auch weitere Literaturangaben finden) für ``lokale stetige Kurven'', d. h. im Kleinen kompakte, metrische, separable und im Kleinen zusammenhängende Räume, eine Verllgemeinerung der bisher in diesem Zusammenhang behandelten Mangen, die sich im Hinblick auf den Beweis als zweckmäßig erweist. Verf. beweist den Satz in einer engeren Fassung als a. a. O: Wenn sich zwei Punkte \(x,y\) einer lokalen stetigen Kurve \(C\) nicht durch \(N\) Punkte trennen lassen (\(N\) endlich), so enthält \(C\) mindestens \(N+1\) unabhängige (d. h. bis auf die Endpunkte paarweise fremde) Bogen. Das geschieht, indem durch Konstruktion von aus Bogen von \(C\) aufgebauten Komplexen der Satz auf den entsprechenden Satz für Graphen zurückgeführt wird, der dann durch einen Induktionsschluß\ nach der Anzhl der Elemente (Knotenpunkte und Kanten) des Graphen bewiesen wird (vgl. hierzu \textit{D. König}, 1933; F. d. M. \(59_{\text{II}}\), 1232). Unabhängig von \textit{Nöbeling} hat Verf. früher (Generalization of a theorem due to C. M. Cleveland, Amer. J. 54 (1932), 176-184; F. d. M. 58) gewisse als Vereinigungsmenge abzählbar vieler Bogen definierte Teilmengen einer stetigen Kurve eingeführt, die die Eigenschaften von \textit{Nöbeling}s ``Gerüsten'' (s. \textit{Menger}, a. a. O., S. 236ff.) haben. Für diese Gerüste beweist Verf. nun auch den \textit{Nöbeling}schen Satz, daß\ sich die \(N+1\) unabhängigen Bogen - bis auf höchstens die Endpunkte - innerhalb eines gegebenen Gerüstes wählen lassen. Der entsprechende Satz, in dem an Stelle von \(x\) und \(y\) zwei in sich kompakte Mengen \(X\) und \(Y\) treten, und damit der \(n\)-Bogensatz, werden erhalten, indem man durch Identifikation geeigneter Punkte von \(X\) und \(Y\) diesen Satz auf den spezielleren Fall zurückführt. Schließlich wird auch der bei \textit{Menger} (a. a. O., S. 219) als zweiter \(n\)-Bogensatz bezeichnete Satz…
reviewed by: Erika Dr. Pannwitz
zbMATH DE Number: 2547084
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.2307/1968342
OpenAlex ID: W2327190724
description: scientific article; zbMATH DE number 2547084