Über Algebren, die mit der Komplexgruppe in Zusammenhang stehen, und ihre Darstellungen.
Die Komplexgruppe besteht aus den linearen Transformationen eines \(2n\)-dimensionalen Vektorraumes mit den Koordinaten \(x_1,x_1',x_2,x_2',\ldots,x_n,x_n'\), die das schiefe Produkt \[ [x,y] = \sum _{\nu =1}^n(x_\nu y_{\nu '}-x_{\nu '}y_\nu ) = \sum _{i,k}\varepsilon (i,k)x_iy_k \] je zweier Vektoren \(x, y\) ungeändert läßt. Jede derartige lineare Transformation \[ x'_i=\varSigma a(i,k)x_k \] induziert eine Transformation im Tensorraum \(\mathfrak R_f\) aller Tensoren \(f\)-ter Stufe \(F(i_1,i_2,\ldots,i_f)\): \[ \begin{gathered} F'(i_1,\ldots,i_f) = \varSigma a(i_1,\ldots,i_f,k_1,\ldots, k_f)F(k_1,\ldots,k_f) \cr \text{mit }a(i_1,\ldots,i_f,k_1,\ldots,k_f)=a(i_1,k_1)\cdots a(i_f,k_f).\end{gathered}\tag{\(*\)} \] Durch \(\varphi _{12}(i_3,i_4,\ldots,i_f) =\sum \limits _{i_1,i_2}\varepsilon (i_1,i_2) F(i_1,i_2,i_3,\ldots,i_f)\) wird in invarianter Weise ein Tensor \((f-2)\)-ter Stufe definiert, der als eine Spur von \(F\) bezeichnet werde. Insgesamt kann man \(\frac {f(f-1)}2\) derartige Spuren \(\varphi _{\alpha \beta }\) \((\alpha <\beta,\alpha,\beta =1,2,\ldots,f)\) bilden. Ist \(\mathfrak R^\ast _f\) der Teilraum derjenigen Tensoren von \(\mathfrak R_f\), deren sämtliche Spuren verschwinden, so ist dann \(\mathfrak R_f^\ast \) bei \((*)\) invariant. Es bezeichne jetzt \(\varSigma \) die Algebra aller derjenigen Matrizen, die sich als lineare Kombinationen mit skalaren Koeffizienten von Matrizen von Transformationen \((*)\) schreiben lassen; es habe \(\varSigma ^\ast \) die analoge Bedeutung für die durch \((*)\) in \(\mathfrak R_f^\ast \) induzierten Transformationen. Dann wird gezeigt, daß \(\varSigma \) aus allen linearen Transformationen \(F'(i_1,\ldots,i_f) =\varSigma a(i_1,\ldots,i_f,k_1,\ldots,k_f) F(k_1,\ldots,k_f)\) besteht, deren Koeffizienten den folgenden Bedingungen genügen: I. \(a(i_1,\ldots,i_f,k_1,\ldots,k_f)\) ändert sich nicht, wenn die Indices \(1,2,\ldots,f\) einer beliebigen Permutation unterworfen werden. II. Es bestehen Formeln \[ \begin{aligned} \varSigma \varepsilon (i_1,i_2)a(i_1,i_2,\ldots,k_1,k_2,\ldots,k_f)&=\varepsilon (k_1,k_2) a(i_3,\ldots,i_f,k_3,\ldots,k_f),\cr \varSigma \varepsilon (k_1,k_2)a(i_1,i_2,\ldots,k_1,k_2,\ldots,k_f)&=\varepsilon (i_1,i_2) a(i_3,\ldots,i_f,k_3,\ldots,k_f),\cr \varSigma \varepsilon (i_3,i_4)a(i_3,\ldots,k_3,\ldots,k_f)&=\varepsilon (k_3,k_4) a(i_5,\ldots,i_f,k_5,\ldots,k_f),\cr \varSigma \varepsilon (k_3,k_4)a(i_3,\ldots,k_3,\ldots,k_f)&=\varepsilon (i_3,i_4) a(i_5,\ldots,i_f,k_5,\ldots,k_f),\cr \ldots \end{aligned} \] Es besteht \(\varSigma ^\ast \) aus denjenigen linearen Transformationen von \(\mathfrak R_f^\ast \), die mit \(F\rightarrow F'\) immer auch \(sF\rightarrow sF'\) transformieren, wo \(s\) irgendeine Permutation der \(f\) Argumente bedeutet. Es werden nun zunächst diese Algebren \(\varSigma ^\ast \) und \(\varSigma \) unabhängig von der ursprünglichen Definition auf Grund der eben erwähnten Charakterisierung untersucht und ihre Darstellungstheorie entwickelt; es werden die \textit{Young}schen Symmetrieoperatoren eingeführt. Dadurch erhält man die Aufspaltung des allgemeinen Tensors \(f\)-ter Stufe in primitive Tensorgrößen und gleichzeitig eine elementare Ableitung der rationalen Darstellungen der Komplexgruppe. Für den Nachweis allerdings, daß die durch I und II definierte Algebra \(\varSigma \) wirklich mit der ursprünglich definierten übereinstimmt, müssen die Ergebnisse der Darstellungstheorie herangezogen werden. Es sei erlaubt zu bemerken, daß in einer demnächst erscheinenden Arbeit des Ref. ein einfacher direkter Nachweis für diese Tatsache erbracht wird, der gleichzeitig auch die entsprechende Frage im Fall der Drehungsgruppe zu behandeln gestattet.
scientific article; zbMATH DE number 2549317