Über Algebren, die mit der Komplexgruppe in Zusammenhang stehen, und ihre Darstellungen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über Algebren, die mit der Komplexgruppe in Zusammenhang stehen, und ihre Darstellungen.
zbMATH Open document ID: 58.0130.01
DOI: 10.1007/BF01186561
published in: Mathematische Zeitschrift
publication date: 1932-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/168357
review text: Die Komplexgruppe besteht aus den linearen Transformationen eines \(2n\)-dimensionalen Vektorraumes mit den Koordinaten \(x_1,x_1',x_2,x_2',\ldots,x_n,x_n'\), die das schiefe Produkt \[ [x,y] = \sum _{\nu =1}^n(x_\nu y_{\nu '}-x_{\nu '}y_\nu ) = \sum _{i,k}\varepsilon (i,k)x_iy_k \] je zweier Vektoren \(x, y\) ungeändert läßt. Jede derartige lineare Transformation \[ x'_i=\varSigma a(i,k)x_k \] induziert eine Transformation im Tensorraum \(\mathfrak R_f\) aller Tensoren \(f\)-ter Stufe \(F(i_1,i_2,\ldots,i_f)\): \[ \begin{gathered} F'(i_1,\ldots,i_f) = \varSigma a(i_1,\ldots,i_f,k_1,\ldots, k_f)F(k_1,\ldots,k_f) \cr \text{mit }a(i_1,\ldots,i_f,k_1,\ldots,k_f)=a(i_1,k_1)\cdots a(i_f,k_f).\end{gathered}\tag{\(*\)} \] Durch \(\varphi _{12}(i_3,i_4,\ldots,i_f) =\sum \limits _{i_1,i_2}\varepsilon (i_1,i_2) F(i_1,i_2,i_3,\ldots,i_f)\) wird in invarianter Weise ein Tensor \((f-2)\)-ter Stufe definiert, der als eine Spur von \(F\) bezeichnet werde. Insgesamt kann man \(\frac {f(f-1)}2\) derartige Spuren \(\varphi _{\alpha \beta }\) \((\alpha <\beta,\alpha,\beta =1,2,\ldots,f)\) bilden. Ist \(\mathfrak R^\ast _f\) der Teilraum derjenigen Tensoren von \(\mathfrak R_f\), deren sämtliche Spuren verschwinden, so ist dann \(\mathfrak R_f^\ast \) bei \((*)\) invariant. Es bezeichne jetzt \(\varSigma \) die Algebra aller derjenigen Matrizen, die sich als lineare Kombinationen mit skalaren Koeffizienten von Matrizen von Transformationen \((*)\) schreiben lassen; es habe \(\varSigma ^\ast \) die analoge Bedeutung für die durch \((*)\) in \(\mathfrak R_f^\ast \) induzierten Transformationen. Dann wird gezeigt, daß \(\varSigma \) aus allen linearen Transformationen \(F'(i_1,\ldots,i_f) =\varSigma a(i_1,\ldots,i_f,k_1,\ldots,k_f) F(k_1,\ldots,k_f)\) besteht, deren Koeffizienten den folgenden Bedingungen genügen: I. \(a(i_1,\ldots,i_f,k_1,\ldots,k_f)\) ändert sich nicht, wenn die Indices \(1,2,\ldots,f\) einer beliebigen Permutation unterworfen werden. II. Es bestehen Formeln \[ \begin{a…
zbMATH DE Number: 2549317
MaRDI profile type: Publication
author: Hermann Weyl
description: scientific article; zbMATH DE number 2549317