Beweis eines Hauptsatzes in der Theorie der Algebren.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Beweis eines Hauptsatzes in der Theorie der Algebren.
zbMATH Open document ID: 58.0142.03
published in: Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
publication date: 1932-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/
full work available at URL: https://eudml.org/doc/149820
review text: Verf. beweisen den für die Strukturtheorie der Algebren über algebraischen Zahlkörpern neuen Fundamentalsatz: Über einein algebraischen Zahlkörper muß jede normale Divisionsalgebra zyklisch oder, wie man auch sagt, vom \textit{Dickson}schen Typus sein. Durch diesen Satz ist erwiesen, daß die Theorie der zyklischen Algebren über einem algebraischen Zahlkörper, die \textit{H. Hasse} (1931; JFM 57.0158.*) entwickelt hat, die Bedeutung einer allgemeinen Struktur- und Invariantentheorie der normalen einfachen Algebren, insbesondere der normalen Divisionsalgebren über algebraischen Zahlkörpern, besitzt. Hiermit ist allgemein gezeigt, daß der Exponent einer normalen einfachen Algebra über einem algebraischen Zahlkörper gleich ihrem Index ist. Von den Folgerungen aus dem Hauptsatz führen wir noch an: Für eine Algebra \(A\) über einem algebraischen Zahlkörper \(\varOmega \) ist ein algebraischer Zahlkörper \(K\) über \(\varOmega \) dann und nur dann Zerfällungskörper, wenn für die sämtlichen Primteiler \(\mathfrak P_i\) in \(K\) der sämtlichen Primstellen \(\mathfrak p\) von \(\varOmega \) jeweils der \(\mathfrak P_i\)-Grad \(n_{\mathfrak P_i}\) von \(K\) ein Multiplum des \(\mathfrak p\)-Index \(m_{\mathfrak p}\) von \(A\) ist. Im Falle, daß \(K\) als galoissch über \(\varOmega \) vorausgesetzt wird, lassen sich nach \textit{Hasse} Hauptsätze der Klassenkörpertheorie (Theorie der relativ-abelschen Zahlkörper) auf relativ-galoissche Zahlkörper verallgemeinern. Auch das von \textit{I. Schur} (1906; F. d. M. 37, 160 (JFM 37.0160.*)) behandelte Problem, in welchen Zahlkörpern die absolut-irreduziblen Darstellungen einer endlichen Gruppe möglich sind, erfahrt durch den Hauptsatz eine wesentliche Fortführung. ``Die absolut-irreduziblen Darstellungen einer endlich en Gruppe \(\mathfrak G\) sind sämtlich in Kreiskörpern mö glich, z. B. jedenfalls stets im Körper der \(n^h\)-ten Einheitswurzeln, wenn \(n\) die Ordnun g von \(\mathfrak G\) und \(h\) hinreichend groß ist.'' Ob man nic…
zbMATH DE Number: 2549347
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W87392048
DOI: 10.1515/CRLL.1932.167.399
author: Richard Brauer
author: Helmut Hasse
author: Emmy Noether
description: scientific article; zbMATH DE number 2549347