A construction of non-cyclic normal division algebras.
Eine normale Divisionsalgebra über ein em algebraischen Zahlkörper ist stets eine zyklische Algebra (vgl. die vorstehend besprochene Arbeit). Es ist daher von Wichtigkeit, die Existenz nichtzyklischer normaler Divisionsalgebren nachzuweisen. Es sei \(F\) ein reeller Zahlkörper, \(K = F(u, v)\) der Körper aller rationalen Funktionen zweier Veränderlichen \(u, v\) mit Koeffizienten aus \(F\). Es seien ferner \(B\) und \(C\) zwei verallgemeinerte Quaternionenalgebren über \(K\): \[ \begin{alignedat}{4} B&=(1,i,j,ij),&\quad j i & =-ij,&\quad i^2 &=u,&\quad j^2 &=a\neq 0,\cr C&=(1,x,y,xy),&\quad y x & =-xy,&\quad x^2 &=v,&\quad y^2 &=b\neq 0\end{alignedat} \] mit \(a\) und \(b\) aus \(K\), die durch folgende Angaben genauer bestimmt werden: \(a\) und \(b\) sind Polynome in \(u, v\) mit Koeffizienten aus \(F\); man ordne ihre einzelnen Glieder zuerst nach fallenden Potenzen von \(v\), dann nach fallenden Potenzen von \(u\); in dieser Reihenfolge seien die ersten Glieder von \(a\) und \(b\) \[ \alpha v^{m_1}u^{n_1},\quad \beta v^{m_2}u^{n_2}. \] Dann sollen \(\alpha,\beta \) positiv, \(m_1\) gerade, \(n_1,m_2,n_2\) ungerade sein. Unter diesen Voraussetzungen ist das direkte Produkt \(B\times C\) eine normale Divisionsalgebra der Ordnung 16 über \(K\), die nichtzyklisch ist.
scientific article; zbMATH DE number 2549348