Untersuchungen über Teilbarkeitseigenschaften in Körpern.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Untersuchungen über Teilbarkeitseigenschaften in Körpern.
zbMATH Open document ID: 58.0147.01
author: H. Prüfer
published in: Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
publication date: 1932-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/
full work available at URL: https://eudml.org/doc/149823
review text: Der Untersuchung werden kommutative Körper \(\mathfrak K\) zugrunde gelegt, in denen ganze Elemente ausgezeichnet sind; diese ganzen Elemente bilden einen Ring mit dem Quotientenkörper \(\mathfrak K\). In Verallgemeinerung des \textit{Dedekind}schen Begriffes werden durch die folgenden fünf Eigenschaften Systeme von Idealen \((a_1,a_2,\ldots,a_n)\) definiert, die durch die Elemente \(a_1,a_2,\ldots,a_n\) erzeugt werden: 1) \(a_\nu \subset (a_1,\ldots,a_n)\) für \(\nu =1,\ldots,n\). 2) Wenn \(a_\nu \subset (b_1,\ldots,b_m)\) für \(\nu =1,\ldots,n\), dann ist auch \((a_1,\ldots,a_n)\subset (b_1,\ldots,b_m)\). 3) \((a)\) besteht aus den ganzen Vielfachen von \(a\). 4) Wenn \(a\subset (a_1,\ldots,a_n)\), dann ist \(ab\subset (a_1b,a_2b,\ldots,a_nb)\). 5) Es ist \(a+b\subset (a,b)\). Es werden im folgenden drei Beispiele von Idealsystemen betrachtet. I. Das Idealsystem \(\mathfrak L:(a_1,\ldots,a_n)_{\mathfrak L}\) besteht aus den Vielfachsummen \[ X_1a_1+X_2a_2+\cdots +X_na_n\text{ mit ganzen }X_\nu. \] II. Das Idealsystem \(\mathfrak A(a_1,\ldots,a_n)_{\mathfrak A}\) besteht aus den Elementen \(r\), die einer Gleichung \[ r^k+f_1(a_1,\ldots,a_n)r^{k-1}+\cdots +f_k(a_1,\ldots,a_n)=0 \] genügen, wobei \(f_i(a_1,\ldots,a_n)\) ein homogenes Polynom \(i\)-ten Grades in \(a_1,\ldots,a_n\) mit ganzen Koeffizienten ist. Es folgt sofort \((a_1,\ldots,a_n)_{\mathfrak L}\subset (a_1,\ldots,a_n)_{\mathfrak A}\). III. Das Idealsystem \(\mathfrak V(a_1,\ldots,a_n)_{\mathfrak V}\) besteht aus den Vielfachen aller gemeinsamen Teiler von \(a_1,\ldots,a_n\). Ist \((a_1,\ldots,a_n)_{\mathfrak S}\) ein Ideal eines beliebigen Systems, so ist immer \((a_1,\ldots,a_n)_{\mathfrak S}\subset (a_1,\ldots,a_n)_{\mathfrak V}\). Für Idealsysteme \(\mathfrak S\) werden nun die speziellen Teilbarkeitseigenschaften \(A,B,\varGamma,\varDelta \) aufgestellt. (Das Symbol \(\mathfrak SA,\mathfrak SB,\mathfrak S\varGamma, \mathfrak S\varDelta \) bedeute, daß \(\mathfrak S\) die Eigenschaft \(A, B, \varGamm…
zbMATH DE Number: 2549361
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2735367813
DOI: 10.1515/CRLL.1932.168.1
description: scientific article; zbMATH DE number 2549361