Allgemeine Bewertungstheorie.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Allgemeine Bewertungstheorie.
zbMATH Open document ID: 58.0148.02
published in: Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
publication date: 1932-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/
full work available at URL: https://eudml.org/doc/149803
review text: Verf. verallgemeinert den Begriff der gewöhnlichen ``speziellen'' unarchimedischen Bewertungen eines Körpers \(\mathfrak K\) dahin, daß als Werte nicht nur reelle Zahlen, sondern die Elemente einer ganz beliebigen geordneten abelschen Gruppe \(\varGamma \) mit der Addition als Verknüpfungsrelation und der Null als Einheitselement zugelassen werden. Die von Krull neu eingeführte allgemeine Bewertung \(B\) von \(\mathfrak K\) mit der Wertgruppe \(\varGamma \) liegt vor, wenn jedem Element \(a\neq 0\) aus \(\mathfrak K\) eindeutig ein Element \(\alpha =w(a)\) aus \(\varGamma \) als Wert mit folgenden Bedingungen zugeordnet ist: 1) \(w(a\cdot b)=w(a)+w(b)\), 2) \(w(a+b)\geqq \min (w(a),w(b))\), 3) zu jedem \(\alpha \) aus \(\varGamma \) gibt es ein \(a\) aus \(\mathfrak K\), so daß \(\alpha =w(a)\). Für jede vorgegebene linear geordnete Gruppe \(\varGamma \) existieren stets Körper, die eine Bewertung \(B\) mit der Wertgruppe \(\varGamma \) besitzen. Zur allgemeinen Bewertung \(B\) gehört ebenso wie zu den früheren speziellen Bewertungen ein Bewertungsring \(\mathfrak B\) von \(\mathfrak K\), der von dem Nullelement und der Gesamtheit der Elemente \(a\), die in \(B\) von \(\mathfrak K\) positive Werte be sitzen, gebildet wird. Ein echter Unterring \(\mathfrak B\) von \(\mathfrak K\) kann dann und nur dann Bewertungsring sein, wenn \(\mathfrak K\) Quotientenkörper von \(\mathfrak B\) ist, und wenn in \(\mathfrak B\) von zwei Elementen \(a_1\) und \(a_2\) stets (mindestens) eines durch das andere teilbar ist. In ähnlicher Weise, wie vom Verf. früher (\textit{W. Krull}, M. Z. 31 (1930), 527-557; JFM 56.0140.*) die Idealtheorie bei speziellen Bewertungen, die sich aus der allgemeinen Bewertungstheorie dadurch ergeben, daß die Wertgruppe \(\varGamma \) archimedisch, also zu einer reellen Zahlgruppe isomorph ist, behandelt wurde, läßt sich auch die Idealtheorie der Bewertung sringe im allgemeinen Fall durchführen. Während in einem Bewertungsring mit archimedischer Wertgruppe …
zbMATH DE Number: 2549363
Wikidata QID: Q108918890
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W4205135392
DOI: 10.1515/CRLL.1932.167.160
author: Wolfgang Krull
description: scientific article; zbMATH DE number 2549363