On binary quadratic forms expressible as a sum of three linear squares with integer coefficients.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On binary quadratic forms expressible as a sum of three linear squares with integer coefficients.
zbMATH Open document ID: 58.0169.01
published in: Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
publication date: 1932-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/
full work available at URL: https://eudml.org/doc/149786
review text: Es handelt sich um die Darstellbarkeit einer ganzzahligen positiv-definiten binären quadratischen Form \(F=Ax^2+2Hxy+By^2\) als Summe von Quadraten ganzzahliger Linearformen. In früheren Arbeiten (1930, 1932; JFM 56.0883.*; 58\(_{\text{I}}\), vorstehendes Referat) hatte Verf. gezeigt, daß \(F\) stets durch fünf Linearformquadrate darstellbar ist, sowie die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Darstellbarkeit von \(F\) durch zwei und vier Linearformquadrate hergeleitet, während er sich bei drei Linearformquadraten auf einen Spezialfall beschränkt hatte. Hier wird der Fall dreier Linearformquadrate allgemein behandelt. Als notwendige und hinreichende Bedingungen ergeben sich: Sei \(d\) der Teiler von \(F\) und \(f=ax^2+2hxy+by^2\) die zugehörige primitive Form, \(\varDelta =ab-h^2\) ihre Determinante, \(\sigma =1\) oder 2 je nachdem \(f\) eigentlich oder uneigentlich primitiv ist, und \(d=d_1^2d_2\), \(\varDelta =\varDelta _1^2\varDelta _2\) mit quadratfreien \(d_2, \varDelta _2\). Ist \(\sigma =2\), so muß 2 zu geradem Exponenten in \(d\) stecken, und die Darstellbarkeitsbed ingungen erweisen sich als invariant bei Weglassen der Potenz von 2 aus \(d\), so daß ohne Einschränkung \(d\) als ungerade für \(\sigma =2\) vorausgesetzt werden darf. Ist dann \(q\) irgendein Primteiler von \(\varDelta _2\), und steckt \(q^\tau \) in \(A\), so muß \(-\frac A{q^\tau }\) bzw. \(-\frac {A\varDelta _2}{q^{\tau +1}}\) quadratischer Rest nach \(q\) sein, je nachdem \(\tau \) gerade oder ungerade ist. Ferner muß für jeden Primteiler \(r\) von \(d_2\), der nicht in \(\varDelta _2\) aufgeht, \(-\varDelta _2\) quadratischer Rest nach \(r\) sein.
zbMATH DE Number: 2549457
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W3146418410
DOI: 10.1515/CRLL.1932.167.12
author: Louis J. Mordell
description: scientific article; zbMATH DE number 2549457