Voronoi's summation formula.
Es handlet sich um die Formel \[ \frac {1}{2}\sum _{a\leqq n \leqq b} \{f(n+0) + f(n-0)\} d(n) - \int \limits ^b_a(\log t+2\gamma )f(t)dt = 2\pi \sum ^\infty _{n=1}d(n)\int \limits ^b_a M_0\{4\pi \sqrt {nt}\}f(t)dt, \] wo \[ \begin{aligned} &0<a<b;\\ &f(x)\text{ von beschränkter Variation in }(a, b);\\ &f( a - 0 ) = f( b + 0 ) = 0;\\ &d(n) = \text{ Anzahl der positiven Teiler von }n;\\ &\gamma =\text{ \textit{Euler}sche Konastante};\\ &M_0(z) = -Y_0(z) + \frac {2}{\pi }K_0(z) \end{aligned} \] und \(Y_0\) und \(K_0\) \textit{Bessel}sche Funktionen der zweiten und dritten Art sind. Die Formel war von \textit{Voronoï} nur heuristisch, von \textit{Dixon} und \textit{Ferrar} exakt bewiesen (Lattice point summation formulae, Quarterly Journ. (Oxford series) 2 (1931), 31-54; F. d. M. \(57_{\text{II}}\)). Verf. gibt eine Abschätzung für das Restglied, wenn man die Reihe auf der rechten Seite abbricht. Er betrachtet auch den Fall \(b=\infty \) und den (schwierigeren) Fall \(a=0\). Ähnliche Resultate können erhalten werden, wenn man \(d(n)\) durch \(r(n)\) (= Anzahl der Darstellungen von \(n\) als Summe von zwei Quadraten ganzer Zahlen) ersetzt.
scientific article; zbMATH DE number 2549527