Contribution to the analytic theory of numbers.
Bekanntlich gilt für die \textit{Euler}sche Funktion \(\varphi (n)\): \[ \varPhi (x) = \sum _{n\leqq x} \varphi (n) = \frac 3{\pi ^2}x^2 + E(x), \] wobei \[ E(x)=O(x \log x),\;E(x)=\varOmega (x \log \log \log x). \] Im ersten Teil der Arbeit untersucht der Verf. unter Verwendung einer Methode von \textit{A. Walfisz} [Math. Z. 34, 448--472 (1931; JFM 57.0218.01)] \[ \int \limits _1^x E^2(u) \,du \] und erhält (hierbei wird der Primzahlsatz gebraucht): \[ \int \limits _1^x E^2(u)\, du = \frac {x^3}{6\pi ^2}+\frac {Bx^3}{\log ^4x}, \] wobei \(B\) unterhalb einer festen Konstanten liegt. Der zweite Teil befaßt sich mit \[ S_\vartheta (x) = \sum _{n\le x} \sigma _\vartheta (n), \] wobei \[ \sigma _\vartheta (n) = \sum _{d\mid n} d^\vartheta \] ist. Nun ist \[ S_\vartheta (x) = x\zeta (1-\vartheta ) +\frac {x^{1+\vartheta }}{1+\vartheta }\zeta (1+\vartheta ) + R_\vartheta (x). \] Verf. stellt nun Abschätzungen her für \[ \int^x_1 R^2_\vartheta (u)\,du\quad \text{für } \frac 12<|\vartheta |<1 \] und für \[ \frac 1x \int \limits ^x_1 |R_\vartheta (u)| \,du\quad \text{für } |\vartheta |=\frac 12, \] durch welche die Cramérschen Abschätzungen [\textit{H. Cramér}, 5. Kongreß Skand. Math., Helsingfors, 266--272 (1923; JFM 49.0117.01)] für \[ \frac1x \int^x_1 |R_\vartheta (u)| \,du \] für alle Werte von \(|\vartheta |\) zwischen \(\frac 12\) und 1 verbessert werden.
scientific article; zbMATH DE number 2549534