On a sum analogous to a Gauss's sum.
Verf. beschäftigt sich mit trigonometrischen Summen von der Form \[ S = \sum ^{p-1}_{x=0}e^{2\pi if(x)/p}, \] wo \(f(x) = a_1x^n + \cdots + a_nx\) \((n\ge 1)\) ein Polynom mit ganzen Koeffizienten und \(p\) eine Primzahl ist. Er gelangt zu folgenden Ergebnissen: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei \[ a_1 \not \equiv 0\pmod p) \text{ und } n<p-1 \] vorausgesetzt. Dann ist \[ S = O\left (p^{1-\frac1n} \right ), \] wobei die \(O\)-Konstante nur von \(n\), also nicht von den Koeffizienten des Polynoms \(f(x)\) abhängt. Dies stellt eine wesentliche Verschärfung des für die additive Zahlentheorie -- insbesondere den Waringschen Problemkreis -- und für die Theorie der diophantischen Approximationen grundlegenden Weylschen Satzes [\textit{H. Weyl}, Math. Ann. 77, 313--352 (1916; JFM 46.0278.06); vgl. \textit{E. Landau}, Vorlesungen über Zahlentheorie I (1927; JFM 53.0123.17), Satz 269)] dar, der nur \[ S = O\left (p^{1-\frac1{2^{n-1}}+\varepsilon } \right ) \] bei jedem positiven \(\varepsilon \) besagt. Ferner sei \(\varphi (x) = a_1x^{l_1}+\cdots +a_nx^{l_n}\) mit ganzen \(l_1,\ldots, l_n\) und \[ S' = \sum _{x=1}^{p-1}e^{2\pi i\varphi (x)/p} \] gesetzt, wobei für \(l_\nu <0\) \(x^{l_\nu }=I\) mit \(Ix^{-l_\nu }\equiv 1\pmod p\) anzusetzen ist. Unter unwesentlichen und keine Beschränkung der Allgemeinheit mit sich bringenden Voraussetzungen beweist Verf., über \textit{E. Landau} (loc. cit. Satz 311), \textit{H. Salié} [Math. Z. 34, 91--109 (1931; JFM 57.0211.01) und \textit{T. Estermann} [Abh. Math. Semin. Univ. Hamb. 7, 82--98 (1929; JFM 55.0703.02)] sowie andererseits ein ohne Beweis mitgeteiltes Ergebnis von \textit{G. H. Hardy} und \textit{J. E. Littlewood} [Quart. J. 48, 272--293 (1919; JFM 47.0114.01)] weit hinausgehend, \[ S' = O\left (p^{1-\frac 1{2\pi }}\right ) \] mit einer nur von \(n\) und den \(l_\nu \) abhängenden \(O\)-Konstanten. Genauer lauten seine Ergebnisse: \[ |S|^{2n} \le \frac {n^n(n, p-1)p^{2n}}{p(p-1)}\quad (p>n);\quad |S|^{2n} \le \frac {(2n)!}{n!}\frac {(n, p-1)p^{2n}}{p(p-1)}\quad (p\le n) \] und \[ |S'|^{2n} \le \frac {(2n)!l_1l_2\ldots l_n(p-1, l_1,\ldots,l_n)}{n!n!}\frac {p^{2n}}{p-1}\quad \text{für }l_\nu >0\quad (1\le \nu \le n). \] Ferner untersucht Verf. mit \[ F(x) = b_1x^n+\cdots +b_{n+1} \] \((b_1,\ldots,b_{n+1}\;\text{ganz})\) Kongruenzen der Form \[ y^m \equiv F(x)\;(\text{mod }p) \] und zwar ihre Lösungszahl \(N\) in einer Abschätzung von der Form \(N = p + O(p^{\varphi (m,n)})\), wobei der \(O\)-Exponent \(\varphi \) für eine Reihe von Wertepaaren \(m, n\) bestimmt wird. In der Methode knüpft er an \textit{Estermann} (loc. cit.) und \textit{Salié}(loc. cit.) an; in seiner Fassung ist die Methode jedoch verallgemeinerungsfähiger.
scientific article; zbMATH DE number 2549542