Note on the theory of series. XVII: Some new convergence criteria for Fourier series.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Note on the theory of series. XVII: Some new convergence criteria for Fourier series.
zbMATH Open document ID: 58.0270.02
author: G. H. Hardy
author: J. E. Littlewood
published in: Journal of the London Mathematical Society
publication date: 1932-01-01T00:00:00Z
review text: \(\varPhi (t)\) sei eine gerade, \(L\)-integrierbare Funktion der Periode \(2\pi \). Bekanntlich ist die Voraussetzung \[ \varPhi (t)=o\left ( \frac {1}{\log \dfrac {1}{| t| }}\right ), \qquad t\to 0 \tag{*} \] nicht hinreichend für die Konvergenz der \textit{Fourier}reihe von \(\varPhi (t)\) in \(t=0\). Es wird nun gezeigt, daß\ ein Hinzukommen der Beschränkung \[ a_n=O(n^{-\delta }),\quad \delta >0, \tag{**} \] für die \textit{Fourier}koeffizienten \(a_n\) von \(\varPhi (t)\) die Konvergenz \(\sum a_n=0\) zur Folge hat. Die Beschränkung \[ a_n=O(n^{-\eta _n}),\quad \eta _n\to 0, \] würde dagegen nicht ausreichen. Aus (*) allein folgt die \textit{Borel}-Summierbarkeit von \(\sum a_n\) zum Werte 0 und auch die Summierbarkeit durch die allgemeineren \textit{Valiron}-Verfahren (vgl. 1917; F. d. M. 46, 487 (JFM 46.0487.*)). Der Umkehrsatz \textit{Tauber}scher Art dieser Verfahren zeigt nun, daß\ (**) durch die einseitige Beschränkung \[ a_n>-An^{-\delta },\quad \delta >0, \tag{***} \] ersetzt werden kann.
zbMATH DE Number: 2549804
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: s1-7.4.252
OpenAlex ID: W2009156037
DOI: 10.1112/JLMS/S1-7.4.252
description: scientific article; zbMATH DE number 2549804