Some new cases of Parseval's theorem.
Sind \(f(z)=\sum a_nz^n\) und \(g(z)=\sum b_nz^n\quad (n=1, 2,\cdots )\) für \(| z| <1\) regulär, so wird die Reihe \[ P=\sum a_nb_ne^{ni\vartheta } \] die zu den Reihen \[ \sum a_ne^{ni\vartheta } \quad \text{und} \quad \sum b_ne^{ni\vartheta } \] gehörige \textit{Parseval}reihe genannt. Es handelt sich um die Frage, wann \(P\) konvergent oder \(C\)-summierbar ist. Bekannt war: Wenn \(p>1\) und \(q=\topsmash {\dfrac {p}{p-1}}\), und wenn \(f\) und \(g\) zu den Klassen \(L^p\) bezw. \(L^q\) gehören, so ist \(P\) gleichmäßig für alle \(\vartheta \) konvergent. In der vorliegenden Arbeit wird der Fall \(p<1\) untersucht, in welchem an die Stelle der Klasse \(L^q\) sinngemäß\ die Klasse Lip\((\frac {1}{p}-1)\) zu treten hat. Eine Funktion \(g(z)\) gehört zur Klasse Lip\(k\), falls \[ | g(z')-g(z)| \leqq C| z'-z| ^k, \] und zur Klasse Lip\((k,p)\), falls \[ \frac {1}{2\pi }\int \limits _{-\pi }^{+\pi } | g(re^{i\vartheta +ih})-g(re^{i\vartheta -ih})| ^p d\vartheta \leqq C| h| ^{pk} \] ist, und falls dabei \(C\) unabhängig von \(z',z\) bzw. von \(r\) ist. Dann gelten die Sätze: I. Wenn (1) \(0<k\leqq 1,pk\geqq 1\), (2) \(f\) in \(L^{\mu }\) mit \(\mu =\topsmash {\dfrac {p}{p+pk-1}}\), (3) \(g\) in Lip\((k,p)\), so ist \(P\) gleichmäßig \(C_{\alpha }\)-summierbar für jedes \(\alpha >-\frac {1}{p}\). II. Wenn (1) \(0<k\leqq 1\), (2) \(f\) in \(L^{\mu }\) mit \(\mu =\topsmash {\dfrac {1}{k+1}}\), (3) \(g\) in Lip\(k\), so ist \(P\) hleichmäßig \(C_{\delta }\)-summierbar für jedes \(\delta >0\). III. Wenn bei I \(p\leqq 2\) ist, so ist \(P\) absolut konvergent. In der zusätzlichen Note wird gezeigt, daß\ II für \(\delta =0\) nicht mehr richtig ist. Zum Beweise werden einige auch an sich interessante Sätze über Reihen mit positiven Gliedern entwickelt; von diesen sei genannt: IV. Sind die \(x_n,y_n,\lambda _n\) positiv, ist \(p>1,q=\topsmash {\dfrac {p}{p-1}},r>1\), ist ferner \[ \sum x_n^p<\infty,\quad \sum y_n^q<\infty,\quad \sum _{\nu =1}^{n}\lambda _{\nu }^{r}=O(n), \] so ist \[ \sum \frac {x_my_n}{m+n}\lambda _{m+n} <\infty, \] während dies für \(r=1\) nicht mehr richtig ist.
scientific article; zbMATH DE number 2549813