On the summability of trigonometrical series.
Es handelt sich um trigonometrische Reihen \[ T(x)\equiv \sum \limits _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx) \] mit \(a_n,b_n=o(n^{\gamma }), \gamma >0\). Eine solche Reihe heißt ``restrictes \textit{Fourier} series'' von \(f(x)\) in \((a,b)\), wenn die \(p\)-fach integrierte Reihe \((p\geqq 1)\) \textit{Fourier}reihe einer Funktion \(F(x)\) ist, die in \((a,b)\) ein \(p\)-tes Integral von \(f(x)\) ist. Es bezeichne \[ P(r,x)\equiv \sum \limits _{n=1}^{\infty } (a_n\cos nx+b_n\sin nx)r^n \qquad (0\leqq r<1) \] die \(T(x)\) zugeordnete harmonische Funktion. Bewiesen wird: I: \(T(x)\) ist ``restircted \textit{Fourier} series'', wenn \(P(r,x)<\chi (x)\) ist, wo \(\chi (x)\) \(L\)-integrierbar in \((a,b)\) ist. II: \(T(x)\) ist ``restricted \textit{Fourier} series'', wenn für \(p>1\) \(\int \limits _{a}^{b}| P(r,x)| ^pdx<M\) gilt. Im Falle \(p=1\) gilt dagegen: III: Wenn \(\int \limits _{a}^{b}| P(r,x)| dx<M\) ist, so ist die Differenz zwischen \(T(x)\) und der Ableitung der \textit{Fourier}reihe einer gewissen Funktion beschränkter Schwan\-kung in jedem abgeschlossenen Teilintervall von \((a,b)\) gleichmäßig \((C,\gamma )\)-summ\-ierbar zum Werte 0. (Vgl. \textit{Offord}, 1932; F. d. M. \(58_{\text{I}}\), 230. )
scientific article; zbMATH DE number 2549820