A note on Fourier integrals.
\(f(x)\) sei jedem Intervall \((a,b)\) \(L\)-integrierbar. Für die Relation \[ \int \limits _{a}^{\infty }f(x)\sin \lambda xdx\to 0 \quad \text{für} \quad \lambda \to \infty \tag{*} \] werden neue Kriterien angegeben, die die üblichen von \textit{Hobson} und \textit{Pringsheim} umfassen (1908, 1910; F. d. M. 39, 476 (JFM 39.0476.*); 41, 332). So ist z. B. für (*) hinreichend: \[ \int \limits _{a}^{\infty }| f(x)-f(x+t)| dx =O(1),\qquad t\to +0 \] und \[ \int \limits _{x}^{x+1}f(t)dt=o(1), \quad x\to \infty. \] Im Anchluß\ ergeben sich die beiden folgenden beachtenswerten Sätze: I. Wenn für ein \(\delta >0\) \[ \int \limits _{0}^{\delta }dt\int \limits _{a}^{\infty } | f(x)-f(x+t)| dx<\infty \] bleibt, so gilt \(\int \limits _{a}^{\infty }| f(x)-f(x+t)| dx\to 0\) mit \(t\to +0\). II. Notwendig und hinreichend dafür, daß\ die Relation \[ \int \limits _{a}^{\infty }| f(x)-f(x+t)| dx\to 0, \qquad t\to +0 \] gilt, ist die Darstellbarkeit von \(f(x)\) in \((a,\infty )\) als Summe einer absolut integrierbaren Funktion und einer von beschränkter Schwankung.
scientific article; zbMATH DE number 2549846