Über positive harmonische Entwicklungen und typischreelle Potenzreihen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über positive harmonische Entwicklungen und typischreelle Potenzreihen.
zbMATH Open document ID: 58.0305.01
DOI: 10.1007/BF01186552
published in: Mathematische Zeitschrift
publication date: 1932-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/168348
review text: In dieser, an interessanten Einzelbemerkungen ungewöhnlich reichhaltigen Arbeit wird in der Hauptsache die Klasse \(\mathfrak J\) der in \(|z| < 1\) konvergenten Potenzreihen \[ f(z) = z + \sum _{n=2}^{\infty } a_n z^n \quad \text{mit reellen} \quad a_n \leqno (1) \] behandelt, die in \(|z|<1\) nur für die reellen \(z\) reellwertig sind und als in \(|z|<1\) typischreell bezeichnet werden. Ist \(\mathfrak {R}'\) die Klasse der in \(|z| < 1\) konvergenten Potenzreihen \[ \varphi (z) = 1 + \sum _{n=1}^{\infty } \alpha _n z^n \quad \text{mit reellen} \quad \alpha _n \,. \leqno (2) \] die in \(|z|<1\) einen positiven Realteil haben (eine Unterklasse der besonders von \textit{Carathéodory} (1911; F. d. M. 42, 429 (JFM 42.0429.*)) untersuchten Klasse \(\mathfrak R\) aller in \(|z| < 1\) konvergenten Potenzreihen \(1+\sum A_nz^n\) mit positivem Realteil), so entspricht vermöge \[ \varphi (z) = f(z) \frac {1-z^2}{z} \leqno (3) \] jedem \(f(z)\) aus \(\mathfrak J\) ein \(\varphi (z)\) aus \(\mathfrak {R}'\) und umgekehrt. Im ersten Abschnitt werden nun die wichtigsten Tatsachen zusammengestellt, die über die Klasse \(\mathfrak R\) bekannt sind, viele neue hinzugefügt und entsprechende Feststellungen über die Klasse \(\mathfrak {R}'\) gemacht. Im zweiten Abschnitt wird dann, teils auf Grund des Zusammenhanges (3), teils durch direkte Betrachtungen, eine Fülle von Einzelergebnissen über die Reihen \(f(z)\) aus \(\mathfrak J\), über ihre Abschnitte bzw. über die in \(0 \leq r <1\), \(0 < \varphi < \pi \) positiven harmonischen Sinusentwicklungen \[ \nu (r, \varphi ) = \sum _{n=1}^{\infty } a_n r^n \sin n \varphi \quad (a_1 = 1) \leqno (4) \] gewonnen. Es seien die folgenden hervorgehoben: 1) Für \(n \geq 2\) heiße der Punkt \(P_n = (a_2, a_3, \dots. a_n)\) des \((n-1)\)-dimensionalen Raumes der \(n\)-te Repräsentant von \(f(z)\). \(P_n\) liegt in der abgeschlossenen konvexen Hülle \(K_n\) der Kurve \[ \frac {\sin 2 \vartheta }{\sin \vartheta }. \frac {\sin 3 \vartheta }{\sin \va…
zbMATH DE Number: 2549892
author: Werner Rogosinski
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W1994898760
description: scientific article; zbMATH DE number 2549892