Application de la théorie des équations intégrales linéaires aux systèmes d'équations différentielles non lineéaires.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Application de la théorie des équations intégrales linéaires aux systèmes d'équations différentielles non lineéaires.
zbMATH Open document ID: 58.0417.01
DOI: 10.1007/BF02546499
published in: Acta Mathematica
publication date: 1932-01-01T00:00:00Z
review text: In \S 1 führt Verf. eine Methode ein, das System gewöhnlicher Differentialrechnungen \[ \frac {dx_{\nu }}{dt} = A_{\nu } (x_1, x_2, \dots, x_n) \quad (\nu =1,2,\dots,n) \tag{1} \] zurückzuführen auf ein System unendlich vieler { linearer} Differentialgleichungen \[ \frac {d\varphi _{\nu }}{dt}=\sum _{r-1}^{\infty }a_{\nu r} \varphi _r \qquad (\nu =1,2,\dots ). \tag{2} \] Ist nämlich \(\varphi _1,\varphi _2,\dots \) ein System solcher Funktionen von \(x_1,x_2,\dots,x_n\), daß sich \(\sum _{r=1}^n A_r \frac {\partial \varphi _{\nu }}{\partial x_r}\) nach den \(\varphi _{\nu }\) entwickelt läßt, so geht (1) in (2) über. Ein einfaches Beispiel erhält man, wenn die \(A_{\nu }\) Polynome sind und die \(\varphi _{\nu }\) die Potenzprodukte \(x_1^{m_1} x_2^{m_2}\dots x_n^{m_n}\). In diesem Falle hat die Matrix \((a_{\nu r})\) in jeder Zeile und Kolonne nur endlich viele von 0 verschiedene Elemente. In den folgenden Paragraphen wird diese Methode unter folgenden Voraussetzungen angewendet: I. Das System (1) besitzt ein eindeutiges Integral \(H(x_1,\dots,x_n)=C\), und durch diese Gleichung im Raum der \(x_1, \dots, x_n\) definierte Hyperfläche \(S\) ist überall regulär und geschlossen. II. (1) besitzt dine positive Integralinvariante. Diese wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit gleich 1 angenommen. In \S 2 wird nun zunächst gezeigt, daß die unendliche Matrix \((c_{\nu r})=i(a_{\nu r})\) \textit{Hermite}sch ist, wenn die \(\varphi _{\nu }\) ein auf \(S\) vollständiges normiertes orthogonales System bilden. Diese ist im allgemeinen nicht beschränkt. Um daher seine Theorie der { singulären} Integralgleichungen (Sur les équations intégrales singulières à noyau réel et symétrique, Uppsala 1923; F. d. M. 49, 272 (JFM 49.0272.*)) anwenden zu können, definiert Verf. den Kern \[ \begin{gathered} K(\xi, \eta ) =0, \; \text{wenn } \xi \; \text{ oder \(\eta \) ganzzahlig ist},\\ K(\xi, \eta ) =\bar {c}_{rs} \; \text{für } r-1<\xi <r,\; s-1<\eta <s \end{gathered} \] und beweist, daß \(…
zbMATH DE Number: 2550231
author: Torsten Carleman
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2550231