Application de la théorie des équations intégrales linéaires aux systèmes d'équations différentielles non lineéaires.
In \S 1 führt Verf. eine Methode ein, das System gewöhnlicher Differentialrechnungen \[ \frac {dx_{\nu }}{dt} = A_{\nu } (x_1, x_2, \dots, x_n) \quad (\nu =1,2,\dots,n) \tag{1} \] zurückzuführen auf ein System unendlich vieler { linearer} Differentialgleichungen \[ \frac {d\varphi _{\nu }}{dt}=\sum _{r-1}^{\infty }a_{\nu r} \varphi _r \qquad (\nu =1,2,\dots ). \tag{2} \] Ist nämlich \(\varphi _1,\varphi _2,\dots \) ein System solcher Funktionen von \(x_1,x_2,\dots,x_n\), daß sich \(\sum _{r=1}^n A_r \frac {\partial \varphi _{\nu }}{\partial x_r}\) nach den \(\varphi _{\nu }\) entwickelt läßt, so geht (1) in (2) über. Ein einfaches Beispiel erhält man, wenn die \(A_{\nu }\) Polynome sind und die \(\varphi _{\nu }\) die Potenzprodukte \(x_1^{m_1} x_2^{m_2}\dots x_n^{m_n}\). In diesem Falle hat die Matrix \((a_{\nu r})\) in jeder Zeile und Kolonne nur endlich viele von 0 verschiedene Elemente. In den folgenden Paragraphen wird diese Methode unter folgenden Voraussetzungen angewendet: I. Das System (1) besitzt ein eindeutiges Integral \(H(x_1,\dots,x_n)=C\), und durch diese Gleichung im Raum der \(x_1, \dots, x_n\) definierte Hyperfläche \(S\) ist überall regulär und geschlossen. II. (1) besitzt dine positive Integralinvariante. Diese wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit gleich 1 angenommen. In \S 2 wird nun zunächst gezeigt, daß die unendliche Matrix \((c_{\nu r})=i(a_{\nu r})\) \textit{Hermite}sch ist, wenn die \(\varphi _{\nu }\) ein auf \(S\) vollständiges normiertes orthogonales System bilden. Diese ist im allgemeinen nicht beschränkt. Um daher seine Theorie der { singulären} Integralgleichungen (Sur les équations intégrales singulières à noyau réel et symétrique, Uppsala 1923; F. d. M. 49, 272 (JFM 49.0272.*)) anwenden zu können, definiert Verf. den Kern \[ \begin{gathered} K(\xi, \eta ) =0, \; \text{wenn } \xi \; \text{ oder \(\eta \) ganzzahlig ist},\\ K(\xi, \eta ) =\bar {c}_{rs} \; \text{für } r-1<\xi <r,\; s-1<\eta <s \end{gathered} \] und beweist, daß \(K\) zur ``Klasse I'' gehört, d.h. daß die zugehörige Integralgleichung keinen komplexen Eigenwert (mit quadratisch integrierbarer Eigenfunktion) und folglich eine eindeutig bestimmte Spektralform besitzt. Unter Benutzung dieser Spektralform sowie der Lösungen der Integralgleichung \(\int _0^{\infty } K(\xi, \eta ) \,\varPhi (\eta )\,d\eta =0\) wird am Schluß des Paragraphen dine ``Fundamentalformel'' für \[ I(t)=\int _S U(p) V(p_0)\,d\sigma _{p_0} \] aufgestellt. Hierbei sind \(V(p_0), U(p_0)\) zwei Funktionen des Punktes \(p_0=\) \((x_1^0, \dots, x_n^0)\), und es ist \(p=(x_1(t), \dots, x_n(t))=p(p_0, t)\), wenn \(x_{\nu }(t)\) die durch die Anfangsweter \(x_{\nu }^0\) bestimmte (auf \(S\) gelegene) Integralkurve von (1) ist. Mit Hilfe der Fundamentalformel wird am Beginn des \S 3 ein Ausdruck für \(\displaystyle {\lim _{t\to \infty }} \frac {\int _0^t I\,dt}{t}\) abgeleitet, aus welchem durch passende Wahl der Funktionen \(U, V\) der \textit{Poincaré}sche Wiederkehrsatz folgt. Macht man noch die Voraussetzung, daß jede quadratisch integrierbare Lösung der Gleichung \(\frac {dU}{dt}=\sum _{\nu =1}^n A_{\nu } \frac {\partial U}{\partial x_{\nu }} =0\) fast überall konstant ist, so geht der erwähnte Ausdruck in \[ \lim _{t\to \infty } \frac 1{t} \int _0^t \int _S U(p) V(p_0)\,d\sigma _{p_0}\,dt=\frac 1{S_0} \int _S U(p_0)\,d\sigma _{p_0} \cdot \int V(p_0)\,d\sigma _{p_0} \tag{3} \] Úber. wo \(S_0\) das Maß von \(S\) ist. Durch passende Spezialisierungen von \(U\) und \(V\) werden aus dieser Formel eine Reihe von Folgerungen gezogen: 1) Fast jede Integralkurve von (1) auf \(S\) kommt jedem Punkt von \(S\) beliebig nahe (Ergodenhypothese). 2) Sind \(P\) und \(Q\) zwei meßbare Mengen auf \(S\), und ist \(\ell (t,p_0)\) das Maß derjenigen im Intervall \(0, t\) gelegenen Punkte \(\tau \), für welche \(p=p(p_0,\tau )\) in \(Q\) liegt, so gilt \[ \lim _{t\to \infty } \frac 1{t} \int _P \ell (t,p_0)\,d\sigma _{p_0} = \frac {P_0 Q_0}{S_0}. \] (Verf. bemerkt, daß \textit{Birkhoff} (Proceedings USA Academy 17 (1931), 656-660; F. d. M. 57\(_{\text{I}}\)) das tiefliegende Resultat, daß \(\lim _{t\to \infty } \frac {\ell (t,p_0)}{t}\) fast überall existiert, erhalten hat.) 3) Jede Meßbare Teilmenge von \(S\), die bei der Transformation \(p_0 \to p =p(p_0, t)\) invariant bleibt, ist entweder von Maße 0 oder hat das Maß \(S_0\) von \(S\). Zum Schluß des Paragraphen leitet Verf. die wichtige Relation (3) ohne Benutzung der Theorie der singulären Integralgleichungen unter Heranziehung eines Approximationssatzes von \textit{E. Schmidt} noch einmal ab. Im letzten \S 4 behandelt Verf. die Entwicklung der Lösung \(p=(x_1(t), \dots, x_n(t))\) als Funktion der Angangswerte \(p_0=(x_1^0, \dots, x_n^0)\), allgemeiner die Entwicklung von \(U(p)\), wo \(U\) eine beliebige auf \(S\) analytische Funktion ist. Ist \(\varphi _1 (p), \varphi _2(p), \dots \) ein System orthogonaler, normierter analytischer Funktionen auf \(S\), nach welchem sich jede auf \(S\) analytische Funktion entwickeln läßt, so ist die Aufgabe die Bestimmung der Entwicklungskoeffizienten von \(U(p)\) in bezug auf dieses System. Wie Verf. zeigt, ist diese Aufgabe gelöst, wenn man für jede Funktion \(U\) das Integral \[ I(U, U, t) = \frac 12 \int _S [U(p(p_0, t)) +U(p(p_0, -t))] U(p_0)\,d\sigma _{p_0} \] kennt, dessen Berechnung folgendermaßen gelingt: Ist \[ \Omega \equiv \frac {d}{dt} \equiv i\sum _{\nu =1}^n A_{\nu } \frac {\partial }{\partial x_{\nu }}, \; \Omega ^2 = \Omega (\Omega ), \dots \; \text{ und } \; c_n =\int _S U\Omega ^{2n} (U)\,d\sigma, \] so erweist sich auf Grund der Fundamentalformel und eines Satzes von \textit{Hamburger}, daß der der Reihe \(\sum _0^{\infty } \frac {c_{\nu }}{z^v}\) entsprechende Kettenbruch \(G(z)\) konvergent ist, und weiter mit Hilfe einer Umkehrformel, daß \(I(U,U,t)\) gleich einem Integral über \(\zeta G(\zeta ^2)\,e^{t\zeta }\) ist. - Verf. schließt mit den folgenden Bemerkungen: 1) Unter Anwendung eines Satzes von \textit{Stieltjes} (Oeuvres eomplètes II. (1918; F. d. M. 46, 2 (JFM 46.0002.*)),p. 510) läßt sich beweisen: Notwendig und hinreichend für die Richtigkeit der Ergodenhypothese ist, daß die mit den Koeffizienten ungerader Ordnung des Kettenbruches \(G(z)\) gebildete Reihe für alle der Relation \(\int _S U(p_0)\,d\sigma _{p_0} =0\) genügenden Funktionen \(U\) divergiert. 2) Sind die \(A_{\nu }\) in (1) Polynome, so bleibt ein großer Teil der erhaltenen Resultate richtig, wenn von den beiden bisher stets gemachten Voraussetzungen I und II nur die zweite erfüllt ist, da auch dann die Matrix \((c_{\nu r})\) \textit{Hermite}sch ist. 3) Ist in einem kanonischen System die \textit{Hamilton}sche Funktion \(H(p_1, \dots, p_n, q_1, \dots, q_n)\) algebraisch, so läßt es sich auf ein kanonisches System zurückführen, in welchem die \textit{Hamilton}sche Funktion ein Polynom ist. Einen Überblick über die in der Arbeit behandelten Fragen hat Verf. in einem am 8.5.1931 im Institut Mittag-Leffler gehaltenen Vortrag gegeben; die nachstehend angezeigte Zusammenfassung wurde an 27.5.1931 eingereicht. Später lernte Verf. die am 15.5.1931 veröffentlichte Arbeit von \textit{Koopman} (Proiceedings USA Academy 17, 315-318; F. d. M. 57) kennen, in welcher ein großer Teil seiner allgemeinen Resultate enthalten war. (VI 3.)
scientific article; zbMATH DE number 2550231