Ein allgemeines Prinzip der asymptotischen Entwicklung.
Verf. gibt eine umfassende Übersicht über die dem Gedankenkreis der Funktionalanalysis angehörigen Methoden zur Gewinnung asymptotischer Darstellungen bzw. Entwicklungen gegebener Funktionen. Hierbei wird jeder Funktion \(F(t)\) (``Oberfunktion'') aus einem gegebenen Funktionsbereich durch eine Funktionaltransformation eine ``{ Unterfunktion}'' zugeordnet; die Transformation denke man sich irgendwie ``explicite gegeben'', etwa als Integraltransformation durch Angabe von Kern und Integrationsgrenzen, entsprechend bei Reihendarstellungen, wo die Koeffizientenfolge die Oberfunktion vorstellt. (Die treffenden Bezeichnungen ``Oberfunktion'', ``Unterfunktion'' hat Verf. seither leider wieder fallen gelassen.) Nun wird entweder aus dem als bekannt angesehenen Verhalten der Oberfunktion an gewissen Stellen auf das Verhalten der Unterfunktion an einer (singulären) Stelle geschlossen (direkte Asymptotik Abelscher Art: Typus \(A(O\to U)\), nach dem einfachsten Falle des \textit{Abel}\,schen Grenzwertsatzes), oder aber aus dem Verhalten der Unterfunktion (unter geeigneten - möglichst rohen - Zusatzannahmen über die Oberfunktion) auf das genauere Verhalten der letzteren (Asymptotik Tauberscher Art: Typus \(T(U\to O)\). Läßt sich die Zuordnung \(F\to f\) durch einen formelmäßigen Ausdruck umkehren (was im Falle \(T\) nicht möglich zu sein braucht, jedenfalls aber nicht benutzt wird), und wird dieser zum Schluß von \(f\) auf \(F\) benutzt, so spricht Verf. von indirekter Asymptotik Abelscher Art (Typus \(A^{-1}(U\to O)\)). Es wird nun von zahlreichen teils bekannten, teils neuen Methoden gezeigt, wie sie sich in dieses Schema einordnen; insbesondere werden für die \textit{Laplace}transformation \(f(s)=\int _{-\infty }^{+\infty } e^{-st} F(t)\,dt\), auf die sich die meisten üblichen Funktionaltransformationen zurückführen lassen, Sätze vom Typ \(A\) bzw. \(T\) formuliert, bei denen zumeist aus der Annahme \(F\sim At^{\alpha }\) (\(t\to \infty \) oder \(t\to 0\)) auf \(f(s) \sim A's^{-\alpha -1}\) (\(s\to )\) oder \(s\to \infty \)) geschlossen wird, bzw. unter Zusatzannahmen in umgekehrter Richtung. Die Methoden \(T\) gestatten insbesondere, gewisse in der \textit{Heaviside}schen Operatorenrechnung übliche formale Prozesse in ihrer analytischen Bedeutung und ihren Gültigkeitsschranken zu beurteilen. Die Methode \(A^{-1} (U\to O)\) tritt in der Literatur besonders häufig auf; hier reiht sich ein die Methode von \textit{Darboux} zur Bestimmung des asymptotischen Verhaltens der Koeffizienten einer Potenzreihe aus den Randsingularitäten, sowie diejenigen von \textit{Haar} und von \textit{Mellin}, die als Analogon der vorigen für \textit{Laplace-} bzw. \textit{Mellin}transformation an Stelle der Potenzreihe angesehen werden können.
scientific article; zbMATH DE number 2550259