Some integral inequalities connected with the calculus of variations .
type: Item
instance of: scholarly article
title: Some integral inequalities connected with the calculus of variations .
zbMATH Open document ID: 58.0530.02
author: G. H. Hardy
author: J. E. Littlewood
published in: The Quarterly Journal of Mathematics. Oxford Series
publication date: 1932-01-01T00:00:00Z
review text: Die Verf. geben hier eine Zusammenstellung solcher Integralungleichungen, die mit Problemen der Variationsrechnung verknüpft sind. Es wird für eindimensionale Variationsprobleme die Lösungsfunktion berechnet, und die Integralungleichung besteht dann eben in der Aussage, daß das Variationsintegral nicht kleiner ist als das von der Lösung erzeugte absolute Minimum. So lautet das besonders interessante Theorem 6 der Verf: Wenn \(y\) und \(y''\) auf \(0\leqq x<\infty \) meßbar und quadratisch integrierbar sind, dann ist \[ \left (\int \limits _{0}^{\infty } {y'}^2 dx\right )^2 \leqq 4 \int \limits _0^\infty y^2 dx \int \limits _0^\infty {y''}^2 dx, \] und Gleichheit gilt nur für \(y=\eta =Ce^{-x\cos \gamma } \sin (x\sin \gamma - \gamma ), \gamma =\frac {\pi }{3}\). Dieses Theorem 6 wird im Theorem 7 zurückgeführt auf die Variations-Aussage \[ \int \limits _0^\infty (y^2 + {y''}^2 - {y'}^2) dx \geqq 0. \] Hier ist \(\eta (x)\), die Lösung des Variationsproblems, partikuläres Integral der zugehörigen \textit{Euler}schen Differentialgleichung, welche linear ist. Letzteres ist auch bei den meisten anderen Problemen der Arbeit der Fall, und daher läßt sich stets die Extremalenschar angeben. Es wird dann gezeigt, daß die den Randbedingungen genügende (bzw. der Minimalforderung gemäß bestimmte) Extremale tatsächlich Lösung des Variationsproblems ist. Dies geschieht in den meisten Fällen unter Benutzung der Extremalen-Gestalt mit Hilfe partieller Integration (Beweistyp B). In manchen Fällen springen die \textit{Weierstraß}sche \(\mathfrak E\)-Funktion und die Feldtheorie helfend ein (Beweistyp C). Einige Ungleichungen werden sogar vollkommen ohne Hilfe der Variationsrechnung hergeleitet (Beweistyp A).
zbMATH DE Number: 2550614
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: os-3.1.241
OpenAlex ID: W2034952648
DOI: 10.1093/QMATH/OS-3.1.241
description: scientific article; zbMATH DE number 2550614