Some integral inequalities connected with the calculus of variations .
Die Verf. geben hier eine Zusammenstellung solcher Integralungleichungen, die mit Problemen der Variationsrechnung verknüpft sind. Es wird für eindimensionale Variationsprobleme die Lösungsfunktion berechnet, und die Integralungleichung besteht dann eben in der Aussage, daß das Variationsintegral nicht kleiner ist als das von der Lösung erzeugte absolute Minimum. So lautet das besonders interessante Theorem 6 der Verf: Wenn \(y\) und \(y''\) auf \(0\leqq x<\infty \) meßbar und quadratisch integrierbar sind, dann ist \[ \left (\int \limits _{0}^{\infty } {y'}^2 dx\right )^2 \leqq 4 \int \limits _0^\infty y^2 dx \int \limits _0^\infty {y''}^2 dx, \] und Gleichheit gilt nur für \(y=\eta =Ce^{-x\cos \gamma } \sin (x\sin \gamma - \gamma ), \gamma =\frac {\pi }{3}\). Dieses Theorem 6 wird im Theorem 7 zurückgeführt auf die Variations-Aussage \[ \int \limits _0^\infty (y^2 + {y''}^2 - {y'}^2) dx \geqq 0. \] Hier ist \(\eta (x)\), die Lösung des Variationsproblems, partikuläres Integral der zugehörigen \textit{Euler}schen Differentialgleichung, welche linear ist. Letzteres ist auch bei den meisten anderen Problemen der Arbeit der Fall, und daher läßt sich stets die Extremalenschar angeben. Es wird dann gezeigt, daß die den Randbedingungen genügende (bzw. der Minimalforderung gemäß bestimmte) Extremale tatsächlich Lösung des Variationsproblems ist. Dies geschieht in den meisten Fällen unter Benutzung der Extremalen-Gestalt mit Hilfe partieller Integration (Beweistyp B). In manchen Fällen springen die \textit{Weierstraß}sche \(\mathfrak E\)-Funktion und die Feldtheorie helfend ein (Beweistyp C). Einige Ungleichungen werden sogar vollkommen ohne Hilfe der Variationsrechnung hergeleitet (Beweistyp A).
scientific article; zbMATH DE number 2550614