Interpolationsverfahren zur numerischen Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Interpolationsverfahren zur numerischen Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen.
zbMATH Open document ID: 58.0590.03
author: G. Schulz
published in: Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik (ZAMM)
publication date: 1932-01-01T00:00:00Z
review text: Das von \textit{v. Mises} eingehend behandelte \textit{Adam}sche Verfahren zur genäherten Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen (1930; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 468) wird so modifiziert, daß unter Benutzung eines Vorläufigen Wertes für die neuzuberechnende Ordinate der Integralkurve Interpolationsformeln angewendet werden und der vorläufige Wert durch Iteration verbessert wird. Hinreichende Bedingungen für die Konvergenz der Iterationen werden gegeben. Das Verfahren fordert kaum mehr Rechenarbeit als das Extrapolationsverfahren, kommt aber für der gleichen Näherungsgrad mit einer Ordinate weniger aus. Die Fehlerabschätzung gibt wesentlich niedrigere Schranken sowohl für den Quadraturfehler wie für den durch Fehlerfortpflanzung entstehenden Fehler. An dem von \textit{v. Mises} benutzten Beispiel wird die Rechnungsgang erläutert und ein Vergleich der für beide Rechnungsarten sich ergebenden Fehlerschranken durchgeführt. Im zweiten Teil der Arbeit wird gezeigt, daß man sich die ersten Ordinatenwerte der Integralkurve, die bei der Benutzung des \textit{Adam}schen Verfahrens schon bekannt sei müssen, mittels der gleichen Interpolationsformeln und Anwendung von Iterationen verschaffen kann. Die Aufstellung hinreichender Bedingungen für die Konvergenz ergibt, daß der größtmögliche Intervallschritt der in der \textit{Lipschitz}schen Bedingung auftretenden Konstanten umgekehrt proportional ist und mit dem Grade \(k\) der für die genäherte Integration anzuwendenden Näherungsparabel abnimmt, wie bis zu \(k=4\) gezeigt wird. Auch hier werden obere Schranken für die Fehler der einzelnen Ordinaten angegeben, die zur Bestimmung des durch Fehlerfortpflanzung bedingten Teiles des Fehlers bekannt sein müssen. Bei dem oben benutzten Beispiel konvergiert das Verfahren außerordentlich schnell.
zbMATH DE Number: 2550846
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: zamm.19320120106
OpenAlex ID: W2065014157
DOI: 10.1002/ZAMM.19320120106
description: scientific article; zbMATH DE number 2550846