Über die angenäherte numerische Lösung des Problems der Wärmeleitung.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über die angenäherte numerische Lösung des Problems der Wärmeleitung.
zbMATH Open document ID: 58.0591.02
published in: Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik (ZAMM)
publication date: 1932-01-01T00:00:00Z
review text: Zur Lösung der \textit{Laplace}schen Gleichung \(\varDelta u=0\) mit der Randbedingung \[ hu+k\frac {\partial u}{\partial n}=f \quad (hk\geq 0),\;h+k \neq 0), \] wo \(h\), \(k\) und \(f\) gegebene Funktionen sind, wird \(\varDelta u\) durch die entsprechende partielle Differenzengleichung ersetzt. Bezeichnet man die auf dem aus Ecken und Seiten des Gitters gebildeten Rande liegenden Funktionswerte mit \(r\), die Nachbarwerte mit \(w\), so wird \(w=r+d\), wo die Steigung \(d\) der ableitung der Lösungsfunktion nach den inneren Normalen proportional ist (Proportionalitätsfaktor \(c\)). Die Randbedigung läßt sich dann in den Form \[ r=\frac {f+\kappa W}{h+\kappa }\;(\kappa =k:c) \] schreiben. Die dieser Randbedingung genügende Funktion \(\Phi \) wird durch sukzessive Approximation gewonnen. Ist \(\Phi _n\) die \(n\)-te Näherungsfunktion, so bestimmt man die Randwerte für die \(n+1\)-te Näherung aus \[ r_{n+1}=\frac {f+\kappa w_n}{h+\kappa }, \] berechnet mit diesen Randwerten die \(n+1\)-te Näherung \(\Phi _{n+1}\) und dieser nach der obigen Formel neue Randwerte \(r_{n+2}\) usw. Konvergenz des Verfahrens und eindeutigkeit der dadurch gewonnenen Lösung werden bewiesen, und an einem Beispiel wird die Verwendbarkeit der Methode gezeigt.
zbMATH DE Number: 2550848
author: D. J. Panov
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: zamm.19320120310
OpenAlex ID: W1972898483
DOI: 10.1002/ZAMM.19320120310
description: scientific article; zbMATH DE number 2550848