Über Flächen mit Verschiebungselementen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über Flächen mit Verschiebungselementen.
zbMATH Open document ID: 58.0778.01
DOI: 10.1007/BF01448883
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1932-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/159583
review text: Die Arbeit knüpft unmittelbar an die vorstehend besprochene an. Ein Flächenelement \(E\) mit dem Trägerpunkt \(P\) heiße ein Häufungselement, wenn \(P\) Häufungspunkt von zu \(P\) äquivalenten Punkten ist, d. h. von Punkten \(P'\), deren (passend abgegrenzte) Umgebungen sich auf (passend abgegrenzte) Umgebungen von \(P\) isometrisch abbilden lassen, derart, daß \(P'\) in \(P\) übergeht. \(E\) heiße ein Verschiebungselement, wenn es seine analytische Kurve durch \(P\) und eine stetige Schar von längentreuen, die Kurve in sich überführenden Abbildungen einer Umgebung von \(P\) gibt, durch die \(P\) in jeden Punkt der Kurve übergeführt wird. Jedes Häufungselement ist ein Verschiebungselement. Eine einfach zusammenhängende vollständige Fläche mit einem Verschiebungselement ist entweder eine Verschiebungsfläche (d. h. besitzt eine stetige Schar fixpunktfreier Isometrien in sich) oder eine Drehungsfläche (vgl. den Schlußabsatz des vorangehenden Referats). Durch Aufsuchung der Systeme äquivalenter Punkte gewinnt Verf. einen Überblick über die bei solchen Flächen auftretenden Gruppen von Isometrien in sich und, was führt nicht einfach zusammenhängende vollständige Fortsetzungen von Verschiebungselementen wichtig ist, über die eigentlich diskontinuierlichen Untergruppen dieser Gruppen. Von den Resultaten sei hervorgehoben Satz 6: Eine vollständige Fläche nicht konstanter Krümmung mit Verschiebungselement ist einer zweidimensionalen euklidischen oder elliptischen Raumform homöomorph. Es folgt eine weitere eingehende Erörterung des Fortsetzungsproblems für Verschiebungselemente: Eine orientierbare vollständige Fortsetzung ist notwendig eine Verschiebungsfläche, eine solche vom Typ der projektiven Ebene eine Drehfläche; in den übrigen Fällen ergeben sich nie Dreh- und nur unter einer besonderen Bedingung Verschiebungsflächen. Alle Fälle werden durch Beispiele belegt. Ein Teil der Ergebnisse läßt sich auf unvollständige Flächen ausdehnen.
zbMATH DE Number: 2551577
MaRDI profile type: Publication
cites work: Über Zusammenhänge zwischen der Differentialgeometrie im Großen und im Kleinen
cites work: Über den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche
author: Willi Rinow
description: scientific article; zbMATH DE number 2551577