The unrestricted plane partition.
Während die Verwendung der \textit{Euler}schen Formel \[ (1-x)^{-1}(1-x^2)^{-1}(1-x^3)^{-1}\dots \] zur Zählung der gewöhnlichen (``linearen'') additiven Zerlegungen natürlicher Zahlen völlig anschaulichen Charakter trägt, war dies bisher beim Beweis der Formel von \textit{MacMahon} (Combinatory analysis 2 (1916), 243) \[ (1-x)^{-1}(1-x^2)^{-2}(1-x-3)^{-3}\dots,\tag{1} \] die sich auf eine bestimmte Art ``ebener'' Zerlegung, d. h. Darstellung als Summe von Summen natürlicher Zahlen, bezieht, noch nicht der Fall. Um hierfür einen anschaulichen Beweis zu erhalten, bezeichnet Verf. für ganzes \(k\geq 1\) allgemein mit \[ \left \{\pi _k\,|c_{11},\dots,c_{1\ell _1}|\dots |c_{k1},\dots,c_{k\ell _k}|\right \} \] das Aggregat derjenigen ``Sätze'' von je \(k\) linearen Zerlegungen, in denen für \(i=1,\dots,k\) in der \(i\)-ten Zerlegung die Summanden \(c_{i1},\dots,c_{i\ell _i}\) verboten sind. Man bilde nunmehr alle \[ \left \{\pi _k|0|a_{21}|a_{31},a_{32}|\dots |a_{k1},\dots,a_{k,k-1}|\right \}, \] wo \(a_{i1},\dots,a_{i,i-1}\) für \(i=2,\dots,k\) das System \(1,\dots,i-1\) darstellen oder aus diesem dadurch hervorgehen, daß\ man beliebig viele seiner Elemente durch Nullen ersetzt. \(s\) bedeute jeweils die Anzahl der Paare \(i,r\) mit \(a_{ir}\neq 0\). Man nehme nun bei gegebenem \(k\) das (einzige) Aggregat dieser Art mit \(s=0\), lasse hieraus die Aggregate mit \(s=1\) weg, füge die mit \(s=2\) hinzu, lasse die mit \(s=3\) weg usw. bis zu \(s= \frac {k(k-1)}2\) einschließlich. Das entstehende Aggregat von Sätzen aus je \(k\) linearen Zerlegungen wird durch (1) erzeugt, und auf Grund dieser Bemerkung liefert eine weitere Untersuchung den gewünschten anschaulichen Beweis.
scientific article; zbMATH DE number 2552980