On some series of functions. III.
Die Note bringt eine unmittelbare Fortsetzung der von den Verf. in ihren beiden früheren Noten gleichen Titels (1930; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 254-255) begonnenen Untersuchungen. Dabei werden teils frühere Ergebnisse verschärft und verallgemeinert, teils werden ihnen neue hinzugefügt. Sind wie früher \(\Phi _n(t)\) die \textit{Rademacher}schen, \(\Psi _n(t)\) die \textit{Steinhaus}schen Funktionen, so wird im wesentlichen gezeigt: 1) Sind \((c_n)\) reelle oder komplexe Zahlen mit \(\sum |c_n|^2<\infty \), so gilt für fast alle \(t\) \[ S_{t,n}(\theta )\equiv \sum _{\nu =0}^n c_{\nu }e^{i\nu \theta }\Phi _{\nu }(t) = o\bigl (\sqrt {\log n}\bigr ) \] gleichmäßig in \(\theta \). Dasselbe gilt mit \(\Psi _n(t)\) an Stelle von \(\Phi _n(t)\). 2) Ist in \(|z|<1\) \[ S_t(z)=\sum _{n=0}^\infty c_nz^n\Phi _n(t)\quad \text{mit}\quad \sum |c_n|^2=\infty, \] und ist \(\omega (x)\) irgendeine Funktion, die mit \(x\) gegen \(\infty \) geht, so ist für fast alle \(t\) da Integral \[ \int \limits _0^{2\pi } \omega \bigl (|S_t(re^{i\theta })|\bigr )d\theta \] bei \(r\to 1\) unbeschränkt. Dasselbe gilt mit \(\Psi _n(t)\) an Stelle von \(\Phi _n(t)\). 3) Es sei \(\chi _0(x)\equiv 1\) und weiterhin \[ \chi _n(x)=\Phi _{n_1}(x)\Phi _{n_2}(x)\cdots \Phi _{n_k}(x)\quad \text{für}\quad n=2^{n_1}+2^{n_2}+\cdots +2^{n_k}\quad (n=1,2,\dots ) \] (vgl. zu diesem Funktionensystem: \textit{J. L. Walsh}, Amer. J. 45 (1923), 5-24; F. d. M. 49, 293 (JFM 49.0293.*)-294). Sind dann \((c_n)\) reelle Zahlen, für die \[ |c_0|+\sum _{m=0}^\infty \biggl (\sum _{n=2^m}^{2^{m+1}-1}c_n^2 \biggr )^{\frac 12}\quad \text{divergiert}, \] so ist für fast alle \(t\) die Funktion \[ \sum _{n=0}^\infty c_n\Phi _n(t)\chi _n(x)\quad \text{in}\quad 0\leq x \leq 1\quad \text{unbeschränkt} \] und \[ \sum _{n=0}^\infty c_n\Phi _n(t)r^n\cos nx\quad \text{in}\quad r<1,\quad 0\leq x \leq 2\pi \quad \text{unbeschränkt}. \] Diese beiden Sätze zeigen, daß, obwohl bei gleichmäßig beschränkten \(f_n(x)\) fast alle Reihen \[ \sum _{n=0}^\infty c_n\Phi _n(t)f_n(x)\tag{\(^*\)} \] gegen eine zu jeder endlichen \textit{Lebesgue}schen Klasse gehörige Funktion konvergieren, doch nicht allgemein gilt, daß diese Funktion für fast alle \(t\) beschränkt ist. Es gilt daher auch nicht allgemein, daß \((^*)\) für fast alle \(t\) gleichmäßig in \(x\) konvergiert. Dagegen besteht der Satz: Ist \(\sum |c_n|^2n^{2\gamma }<\infty \) \((0<\gamma <1)\), so sind für fast alle \(t\) die Reihen \[ \sum _{n=0}^\infty c_n\Phi _n(t)e^{in\theta },\quad \sum _{n=0}^\infty c_n\Psi _n(t)e^{in\theta } \] gleichmäßig \((C,-\gamma )\)-summierbar in \((-\pi,+\pi )\). 4) Hat \(\sum c_nz^n\) den Konvergenzradius 1, so ist für fast alle \(t\) die Funktion \[ f_t(z) = \sum _{n=0}^\infty c_nz^n\Phi _n(t) \] nicht über den Einheitskreis hinaus forsetzbar (ohne Beweis in Note I). Ein analoger Satz gilt für \textit{Dirichlet}sche Reihen. 5) Es sei \[ f(z) = \sum _{n=0}^\infty a_nz^n \] eine ganze Funktion; ihre Ordnung ist definiert durch \[ \omega =\varlimsup _{r\to \infty }(\log r)^{-1}\log \log \operatornamewithlimits {Max}_{0\leq \theta \leq 2\pi } |f(re^{i\theta })|,\tag{\(^{**}\)} \] entsprechend ihre Ordnung in einem Winkelraum \((\alpha,\beta )\), indem \(0\leq \theta \leq 2\pi \) durch \(\alpha \leq \theta \leq \beta \) ersetzt wird. Fast alle Funktionen \[ \sum _{n=0}^\infty a_nz^n\Phi _n(t),\quad \sum _{n=0}^\infty a_nz^n\Psi _n(t) \] haben in jedem Winkelraum \(\alpha \leq \operatorname {arc} z \leq \beta \) dieselbe Ordnung, nämlich die durch \((^{**})\) gegebene Ordnung \(\omega \). (IV 4.)
scientific article; zbMATH DE number 2553107