A note on analytic functions in the unit circle.
type: Item
instance of: scholarly article
title: A note on analytic functions in the unit circle.
zbMATH Open document ID: 58.1076.03
DOI: 10.1017/S0305004100010112
author: R. E. A. C. Paley
author: Antoni Zygmund
published in: Proceedings of the Cambridge Philosophical Society
publication date: 1932-01-01T00:00:00Z
review text: 1) Anknüpfend an Ergebnisse von \textit{M. Riesz}, \textit{Littlewood} und \textit{Hardy-Littlewood} (vgl. insbesondere \textit{Hardy-Littlewood}, 1932; JFM 58.0333.*) zeigen die Verf. zunächst über das Verhalten von Real- u. Imaginärteil einer in \(|z|<1\) analytischen Funktion \[ f(z) = u(r,\theta ) + i v(r,\theta )\quad (z=re^{i\theta }) \] bei Annäherung an den Konvergenzkreis: Sind \(\chi (t)\), \(\psi (t)\) \((0\leq t<+\infty )\) zwei beliebige, nichtnegative, meßbare, in jedem endlichen Intervall beschränkte Funktionen, die für \(t\to \infty \) den Bedingungen \(\chi (t)=o(t)\), \(\psi (t)\to \infty \) genügen, so gibt es eine Funktion \(f(z)\), für die bei \(r\to 1\) gilt \[ \int \limits _0^{2\pi } \chi \bigl (|u(r,\theta )|\bigr )d\theta = O(1),\quad \int \limits _0^{2\pi }\psi \bigl (|v(r,\theta )|\bigr )d\theta \neq O(1). \] 2) Aus dem Bestehen der Beziehung \[ \int \limits _0^{2\pi }\log ^{+}\limits |f(re^{i\theta })|d\theta =O(1) \] für \(r\to 1\) folgt für eine in \(|z|<1\) reguläre Funktion \(f(z)\) die Existenz des \(\lim \limits _{r\to 1}f(re^{i\theta })\) für fast alle \(\theta \) (\textit{Ostrowski, F. u. R. Nevanlinna}). Dagegen zeigen die Verf.: (a) Zu jeder Funktion \(\chi (t)\) der in 1) genannten Art gibt es eine Funktion \(f(z)\), für die bei \(r\to 1\) \[ \int \limits _0^{2\pi }\chi \bigl (\log ^+\limits |f(re^{i\theta })|\bigr ) d\theta = O(1) \] gilt, obwohl \(\lim \limits _{r\to 1} f(re^{i\theta })\) für fast alle \(\theta \) nicht existiert. (b) Zu jeder reellen Funktion \(\omega (r)\) \((0\leq r<1)\), die für \(r\to 1\) gegen \(+\infty \) strebt, gibt es eine Funktion \(f(z)\), für die bei \(r\to 1\) \[ \int \limits _0^{2\pi }\log ^+\limits |f(re^{i\theta })|d\theta = O\bigl (\omega (r)\bigr ) \] gilt, obwohl \(\lim \limits _{r\to 1} f(re^{i\theta })\) für fast alle \(\theta \) nicht existiert.
zbMATH DE Number: 2553125
MaRDI profile type: Publication
Wikidata QID: Q104759930
full work available at URL: s0305004100010112
OpenAlex ID: W2144919274
description: scientific article; zbMATH DE number 2553125