Zur Theorie der Überkonvergenz.
Die Erscheinung der Überkonvergenz, wonach gewisse Abschnittsfolgen einer Potenzreihe über den Konvergenzkreis hinaus gleichmäßig konvergieren, wurde von \textit{Porter} 1906 und von \textit{Jentzsch} 1918 wieder entdeckt. Schon früher hat der Verf. diese Erscheinung durch den Zusammenhang mit einem Lückensatz aufgeklärt. Dabei ergab sich schon, daß das Regularitätsgebiet einer Funktion \(f(z)\), die zu einer solchen Potenzreihe gehurt, stets einfach zusammenhängend und schlicht ist, und daß die Randpunkte des Konvergenzgebietes einer Abschnittsfolge stets singulare Punkte von \(f(z)\) sind. In der vorliegenden Arbeit wird nun gezeigt, daß das Regularitätsgebiet einer solchen Funktion, falls es nur \(z = 0\) enthält und \(z = \infty\) ausschließt, keiner weiteren Beschränkung unterliegt. Man kann dann stets eine darin reguläre Funktion angeben, die im ganzen Gebiet durch eine Abschnittsfolge ihrer Nullpunktsentwicklung gleichmäßig dargestellt werden kann. Außer dem Beweis dieses allgemeinen Satzes bietet die Arbeit einige einfache Beispiele von Potenzreihen mit überkonvergenten Abschnittsfolgen sowie gesonderte Beweise nach anderer Methode, für einige Spezialfälle, wo der Regularitätsbereich ein Schlitzbereich ist.
scientific article; zbMATH DE number 2563467