Approximation and graduation according to the principle of least squares by orthogonal polynomials.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Approximation and graduation according to the principle of least squares by orthogonal polynomials.
zbMATH Open document ID: 58.1186.01
published in: Annals of Mathematical Statistics
publication date: 1932-01-01T00:00:00Z
review text: Verf. gibt eien ausführliche Darstellung seiner Methode der Trendberechnung eines durch \(N\) äquidistante Werte gegebenen Funktionsverlaufes mittels orthogonaler Polynome. Nach Ableitung der weiterhin gebrauchten Formeln der Differezenrechnung leitet er auf ähnliche Art, wie das bei den \textit{Legendre}schen Polynomen üblich ist, die Ausdrücke für die benutzen Polynome und die für die Berechnung der Koeffizienten der nach der Methode der kleinsten Quadrate besten Entwicklung erforderlichen Formeln ab. In diesen Formeln treten die mittleren Binomialmomente auf, für deren Berechnung die hier sehr allgemein abgeleitete Methode von \textit{Tschetwerikoff} benutzt wird. Aus diesen Momenten werden die mittleren Orthogonalmomente unter Verwendung von Faktoren abgeleitet, deren Zahlwerte in einer Tabelle gegeben sind. Mittels dieser mittleren Orthogonalmomente drücken sich auch die mittleren Abweichungsquadrate der Näherungen einfach aus. Die Näherungen werden dann duch eien \textit{Newton}sche Formel dargestellt. Die in dieser auftretenden Differenzen lassen sich sehr einfach aus den Orthogonalmomenten berechnen. Nimmt man weitere Ordinaten hinzu, ergeben sich die neuen Differenzen aus den alten durch eine einfache Korrektur. Hat man diese Differenzen berechnet, so bestimmt man die Näherungswerte zu den gegebenen Daten einfach durch Aufaddieren in einem Differenzenbschema. An drei Beispielen wird die Anwendung der Formeln erläutert. Weiter zeigt Verf., wie die Korrelationskoefizienten \[ r_{mn} = \frac {1}{N\sigma _n\sigma _n'} \sum _{x=a}^b \left (f_n(x)-y\right ) \left (f'_m(x)-y'\right ) \] zwischen den Abweichungen der Näherungsparabel \(n\)-ten Grades \(f_n(x)\) von den gegebenen Werten \(y\) und der einer Näherungsparabel \(f_m'(x)\) von anderen Werten \(y'\), sowie der zwischen der Abweichung zweier Näherungsparabeln \(f_n(x) - f_\nu (x)\) der Werte \(y\) und zwischen \(f_m'(x) - f_\mu '(x)\), wo \(f_m'(x)\) und \(f_\mu '(x)\) zwei Näherungsparabeln verschiedenen …
zbMATH DE Number: 2553579
author: Ch. Jordan
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.1214/aoms/1177732839
OpenAlex ID: W2013773379
DOI: 10.1214/AOMS/1177732839
description: scientific article; zbMATH DE number 2553579