Complex geometry and relativity; theory of the ``rac'' curvature
type: Item
instance of: scholarly article
title: Complex geometry and relativity; theory of the ``rac'' curvature
zbMATH Open document ID: 58.1250.02
author: Edward Kasner
published in: Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America
publication date: 1932-01-01T00:00:00Z
review text: Unter dem ``rac'' \(R\) einer analytischen Kurve versteht Verf. den Grenzwert Bogen: Sehne. Für gewöhnliche reelle Kurven gilt natürlich stets \(R=1\). Der Sachverhalt liegt aber wesentlich anders in Kurvenpunkten mit isotropen Tangenten. Hier gelten zunächst die beiden folgenden Sätze, deren Inhalt und Beweis Verf. teilweise bereits in einer früheren Arbeit bekanntgegeben hatte (1914; F. d. M. 45, 809 (JFM 45.0809.*)): (1) In jedem regulären Punkte einer ebenen analytischen Kurve ist der rac durch eine der Zahlen der diskreten Folge: \[ 1, \frac {2\sqrt 2}{3}, \frac {2\sqrt 3}{4}, \frac {2\sqrt 4}{5}, \frac {2\sqrt 5}{6}, \dots, \frac {2\sqrt n}{n+1},\dots \] gegeben, und zwar durch die \(n\)-te Zahl dieser Folge, wenn die Kurve in dem entsprechenden Punkt eine Berührung von \((n-1)\)-ter Ordnung mit einer isotropen Geraden hat. (2) In einem Raum von drei und mehr Dimensionen kann der rac einer regulär analytischen Kurve jeden reellen und komplexen Wert (einschließlich 0 und \(\infty \)) annehmen. (3) Wieder anders liegen die Dinge für Kurven auf (krummen) analytischen Flächen. Hier bestehen für Racwerte folgende Möglichkeiten: (A) Die Gesamtheit aller komplexen Zahlen (einschließlich 0 und \(\infty \)). (B) Alle komplexen Zahlen mit einer einzigen (reellen) Ausnahme, nämlich einer der Zahlen aus der Reihe: \[ R_3, R_5, R_7,\dots \Big ( R_n = \frac {2\sqrt n}{n+1}\Big ). \] (C) Die diskrete reelle Folge: \(R_n = \frac {2\sqrt n}{n+1}\). (D) Genau zwei reelle Zahlen: Die Einheit und eine aus der Reihe \(R_2,R_4,R_6,\cdot \). (E) Die Einheit allein. Man hat jetzt zwei Fälle zu unterscheiden, je nachdem ob die Tangentialebene im betrachteten Punkt isotrop ist oder nicht. Ist sie nicht isotrop und ist der betrachtete Punkt kein Nabelpunkt, so gilt der Satz: (4) in einem allgemeinen Punkt einer allgemeinen Fläche kann der rac jeden komplexen Wert des Kontinuums annehmen mit der einzigen Ausnahme \(R_3 = \frac {\sqrt 3}{2}\). Ferner ergibt sich aus (3): (5) Die Ordnungsr…
zbMATH DE Number: 2553902
Wikidata QID: Q33739311
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: pnas.18.3.267
OpenAlex ID: W2062277291
DOI: 10.1073/PNAS.18.3.267
description: scientific article; zbMATH DE number 2553902