Über den Aufbau der Arithmetik.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über den Aufbau der Arithmetik.
zbMATH Open document ID: 57.0103.03
published in: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (DMV)
publication date: 1931-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/145868
review text: Anknüpfend an die Peanoschen Axiome der natürlichen Zahlen, insbesondere an die zweite, ausführlichere Fassung derselben, die \textit{J. Peano} in seinem bekannten Werk, ``Arithmetices principia novo methodo exposita'' (1889; JFM 21.0051.02) gegeben hat, stellt Verf. ein Axiomensystem für die Menge der nicht negativen ganzen Zahlen auf: Er geht aus von einem System von Dingen, die er natürliche Zahlen nennt und durch kleine lateinische Buchstaben bezeichnet. Zwischen diesen Dingen bestehen die Grundbeziehungen der Gleichheit (\(a = b\)) und der (unmittelbaren) Folge (\(a \prec b\) oder \(b \succ a\)); die Negation der Gleichheit ist \(a \not = b \). Verf. unterscheidet die folgenden vier Axiomgruppen: I. Die Axiome der Gleichheit und Folge. II. Das Axiom der Null. III. Das Axiom der Existenz eines Nachfolgers. IV. Das Axiom der vollständigen Induktion. Die Axiome lauten: I 1. Aus \( a_1 \prec b\) und \(a_2 \prec b\) folgt \(a_1 = a_2\). I 2. Aus \(a \prec b_1\) und \(a \prec b_2\) folgt \(b_1 = b_2\). I 3. Aus \(a = b\) und \( b \prec c\) folgt \(a \prec c\). I 4. Aus \(a \prec b\) und \(b = c \) folgt \(a \prec c\). II. Es gibt eine natürliche Zahl, sie heißt 0, derart, daß aus \( a \prec b\) folgt \(b \not = 0\). III. Zu jeder natürlichen Zahl \(a\) existiert wenigstens eine natürliche Zahl \(b\) derart, daß \(a \prec b\). IV. Wenn eine Klasse \(\mathfrak K\) von natürlichen Zahlen die Eigenschaft hat, daß die Zahl 0 sowie mit \(a\) bei \(a \prec a^\prime\) stets auch \(a^\prime\) dazu gehört, so enthält \(\mathfrak K\) jede natürliche Zahl. Verf. beweist, daß diese Axiome sämtlich voneinander unabhängig sind. Alsdann wendet sich Verf. dem weiteren Aufbau des Zahlensystems zu. Er formuliert darüber die folgenden vier Thesen: (1) Es ist unzweckmäßig, sich die Erweiterungen so vorzustellen, daß zu den bereits vorhandenen ``alten'' Zahlen ''neue'' adjungiert werden. (2) Zweckmäßig ist es dagegen, sich an Stelle der Adjunktion eine vollkommene Neukonstruktion vorzuste…
Mathematics Subject Classification ID: 03E10
zbMATH DE Number: 2555436
author: Ludwig Neder
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2555436