On finite sequences of real numbers.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On finite sequences of real numbers.
zbMATH Open document ID: 57.0105.03
author: H. S. Heywood
publication date: 1931-01-01T00:00:00Z
review text: Zum Zwecke der Anwendung in der Statistik leitet Verf. Sätze aus der Orthogonalisierungstheorie der Vektoren mit \(n\) Komponenten her, die zum größeren Teil bekannt sind. Geringe Abweichungen von der üblichen Theorie ergeben sich dadurch, daß die betrachteten Vektoren \[ \mathfrak x_1 = \{ x_{11}, x_{12}, \dots, x_{1N} \} \] so normiert sind, daß \[ \sum_{p=1}^N x_{1p} = 0, \qquad \qquad \text{ (2) } \qquad \qquad \sum_{p=1}^N x_{1p}^2 = 1 \tag{1} \] ist. Die inneren Produkte \(\mathfrak x_p \mathfrak x_q = r_{pq} \) werden in den Anwendungen als Korrelationskoeffizienten bezeichnet. Besonders eingehend wird der für die Statistik wichtige Fall behandelt, daß in der Matrix der Korrelationskoeffizienten \[ \left( \begin{matrix} \quad & \quad & \quad & \\ 1 & r_{12} & \cdots & r_{1n} \\ r_{21} & r_{22} & \cdots & r_{2n} \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdots & \cdot \\ r_{n1} & r_{n2} & \cdots & r_{nn} \end{matrix} \right), \] die als gegeben angesehen wird, während die \(\mathfrak x_p\) daraus ermittelt werden sollen, die Beziehungen gelten: \[ \begin{matrix} \l \\ r_{pq} = r_{qp}, \quad r_{pq} \not = 0, \quad |r_{pq} | < 1, \\ r_{pq} : r_{sq} = r_{pt} : r_{st} \end{matrix} \] für paarweise verschiedene Indices \(p, q, s, t\) (\textit{Spearman}sches Schema). Setzt man \[ r_{pq} = \varrho_p r_{1q}, \quad r_{12} = k \varrho_2, \] so ist \(k = \dfrac{r_{12}r_{13}}{r_{23}}\); ferner wird \[ r_1 = \sqrt {k} \quad (\text{bzw.} \quad r_1 = \sqrt {-k}), \quad r_1 \varrho_2 = r_2, \, r_1 \varrho_3 = r_3, \dots, \, r_1 \varrho_n = r_n \] gesetzt. Es wird nun die Existenz eines Vektorsystems \(\mathfrak x_1, \dots, \mathfrak x_n\) mit den vorgeschriebenen Korrelationskoeffizienten diskutiert. Unter anderm ergibt sich für \(r_1 \leqq 1, \, r_p < 1\) (\(p = 2,\dots, n\)), daß sich die \(\mathfrak x_\nu\) in der Form \[ \mathfrak x_\nu = r_\nu \varPhi + r^\prime_\nu \varPhi_\nu \] ausdrücken lassen, wobei \(\varPhi, \varPhi_1,…
zbMATH DE Number: 2555441
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: rspa.1931.0209
OpenAlex ID: W2075750521
DOI: 10.1098/RSPA.1931.0209
published in: Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical and Physical Sciences
description: scientific article; zbMATH DE number 2555441