Sur la théorie des groupes de décomposition, d'inertie et de ramification.
I. Sei \(K\) ein galoisscher Körper über dem algebraischen Zahlkörper \(k\); \(\overline{K}\) ein ebenfalls galoisscher Zwischenkörper; \(G\) die galoissche Gruppe von \(K\) über \(k\); \(g\) die zu \(\overline{K}\) gehörige Untergruppe von \(G\); \(\mathfrak P\) ein Primideal in \(K\); \(\overline{\mathfrak P}\) das in \(\mathfrak P\) enthaltene Primideal von \(\overline{K}\); \(G_0\), \(G_1\), \(G_2\),\dots der Reihe nach Zerlegungsgruppe, Trägheitsgruppe und Verzweigungsgruppen von \(\mathfrak P\) ; \(\gamma_{i}\) die entsprechenden Gruppen für \(\overline{\mathfrak P}\). Verf. stellt sich dann die Aufgabe, aus der Kenntnis der \(G_i\) die \(\gamma_i\) zu bestimmen. Ist \(\varGamma_i\) die durch \(g\) und \(G_i\) erzeugte Gruppe von der Ordnung \(n_i\) so ist \[ \gamma_0=\varGamma_0/g,\quad \gamma_1=\varGamma_1/g,\quad \gamma_2=\varGamma_2/g. \] Die weiteren \(\gamma_i\) werden so bestimmt: Man kann Indices \(i_1\), \(i_2\),\dots so angeben, daß \[ \begin{matrix} \l&&\l&&\l&&\l&\l\\ n_2&+&\,n_3&+\cdots+&\,n_{i_1-1}&=&\,n_1&,\\ n_{i_1}&+&\,n_{i_1+1}&+\cdots+&\,n_{i_2-1}&=&\,n_1&,\\ \hdotsfor7&{}_{ .} \end{matrix} \] Dann ist \[ \gamma_3=\varGamma_{i_1}/g,\quad \gamma_4=\varGamma_{i_2}/g,\dots. \] Es werden dann einige Resultate von \textit{Hasse} (J. f. M. 162 (1930), 169-184; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 166) leicht aus den gewonnenen Ergebnissen entwickelt. II. Über einem Grundkörper \(k^*\) seien zwei Oberkörper \(\overline{k}\) und \(K\) gegeben, von denen \(K\) als galoissch vorausgesetzt ist; \(\overline{K}\) sei der kleinste gemeinsame Oberkörper, \(k\) der größte gemeinsame Unterkörper von \(\overline{k}\) und \(K\). \(\overline{\mathfrak P}\) sei Primideal in \(\overline{K}\) und enthalte in \(k\), \(K\), \(\overline{k}\), \(k^*\) bzw. die Primideale \(\mathfrak p\), \(\mathfrak P\), \(\overline{\mathfrak p}\), \(\mathfrak p^*\). Verf. stellt nun die Frage nach der Zerlegungs-, der Trägheits- und den Verzweigungsgruppen \(\overline{\gamma}_0\), \(\overline{\gamma}_1\), \(\overline{\gamma}_2\),\dots von \(\overline{\mathfrak P}\) über \(\overline{k}\), unter Voraussetzung der Kenntnis der entsprechenden Gruppen \(\gamma_0\), \(\gamma_1\), \(\gamma_2\),\dots für \(\mathfrak P\) über \(k^*\). Sei \(f\) der Grad von \(\mathfrak P\) in bezug auf \(k^*\), \(\overline{f}\) der von \(\overline{\mathfrak P}\) in bezug auf \(\overline{k}\), \(\varphi\) der von \(\overline{\mathfrak p}\) in bezug auf \(k^*\) und \(\overline{\mathfrak p}^e\) der Anteil von \(\overline{\mathfrak p}\) an \(\mathfrak p^*\). Dann gilt: (a) \(\overline{\gamma}_0\) ist isomorph einer Untergruppe von \(\gamma_0\), \(\overline{\gamma}_1\) einer von \(\gamma_1\), allgemein \(\overline{\gamma}_{ne+1}\) einer von \(\gamma_{n+1}\). (b) \(\overline{f}\) ist ein Vielfaches von \(\dfrac f{(f,\varphi)}\). (c) Ist \(e=1\), so ist \(\overline{\gamma}_n\) isomorph zu \(\gamma_n\) für alle \(n > 0\). (d) Ist \(e=1\), so ist \(\overline{f}=\dfrac f{(f,\varphi)}\). III. Zum Schluß werden einige Anwendungen gemacht: (a) Ist K abelsch über \(k^*\) und Klassenkörper zur Idealgruppe \(H\) von \(k^*\), dann ist \(\overline{K}\) abelsch über \(\overline{k}\) und Klassenkörper für die Idealgruppe \(\overline{H}\) aus den Idealen aus \(\overline{k}\), deren \(k^*\)-Norm in \(H\) liegt (Satz von \textit{Hasse}, M. Z. 31 (1930), 559-564; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 166-167). (b) \(\mathfrak f\) und \(\overline{\mathfrak f}\) seien bzw. die Führer von \(H\) und \(\overline{H}\). Die Primideale aus \(k\), die nicht in der Differente von \(\overline{K}\) in bezug auf \(k^*\) aufgehen, teilen \(\mathfrak f\) und \(\overline{\mathfrak f}\) in gleicher Potenz. (c) Ist der Grad von \(K\) über \(k^*\) teilerfremd zum Grad des klemsten über \(k^*\) galoisschen Oberkörpers von \(\overline{k}\) über \(k^*\), dann ist \[ \overline{\mathfrak f}=\frac{\mathfrak f}{\prod\overline{\mathfrak p}^{e-1}}, \] wo die \(\overline{\mathfrak p}\) alle Primidealteiler von \(\mathfrak f\) aus \(\overline{k}\) durchlaufen.
scientific article; zbMATH DE number 2555862