Sur la théorie des groupes de décomposition, d'inertie et de ramification.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Sur la théorie des groupes de décomposition, d'inertie et de ramification.
zbMATH Open document ID: 57.0202.03
published in: Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Neuvième Série
publication date: 1931-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/234564
review text: I. Sei \(K\) ein galoisscher Körper über dem algebraischen Zahlkörper \(k\); \(\overline{K}\) ein ebenfalls galoisscher Zwischenkörper; \(G\) die galoissche Gruppe von \(K\) über \(k\); \(g\) die zu \(\overline{K}\) gehörige Untergruppe von \(G\); \(\mathfrak P\) ein Primideal in \(K\); \(\overline{\mathfrak P}\) das in \(\mathfrak P\) enthaltene Primideal von \(\overline{K}\); \(G_0\), \(G_1\), \(G_2\),\dots der Reihe nach Zerlegungsgruppe, Trägheitsgruppe und Verzweigungsgruppen von \(\mathfrak P\) ; \(\gamma_{i}\) die entsprechenden Gruppen für \(\overline{\mathfrak P}\). Verf. stellt sich dann die Aufgabe, aus der Kenntnis der \(G_i\) die \(\gamma_i\) zu bestimmen. Ist \(\varGamma_i\) die durch \(g\) und \(G_i\) erzeugte Gruppe von der Ordnung \(n_i\) so ist \[ \gamma_0=\varGamma_0/g,\quad \gamma_1=\varGamma_1/g,\quad \gamma_2=\varGamma_2/g. \] Die weiteren \(\gamma_i\) werden so bestimmt: Man kann Indices \(i_1\), \(i_2\),\dots so angeben, daß \[ \begin{matrix} \l&&\l&&\l&&\l&\l\\ n_2&+&\,n_3&+\cdots+&\,n_{i_1-1}&=&\,n_1&,\\ n_{i_1}&+&\,n_{i_1+1}&+\cdots+&\,n_{i_2-1}&=&\,n_1&,\\ \hdotsfor7&{}_{ .} \end{matrix} \] Dann ist \[ \gamma_3=\varGamma_{i_1}/g,\quad \gamma_4=\varGamma_{i_2}/g,\dots. \] Es werden dann einige Resultate von \textit{Hasse} (J. f. M. 162 (1930), 169-184; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 166) leicht aus den gewonnenen Ergebnissen entwickelt. II. Über einem Grundkörper \(k^*\) seien zwei Oberkörper \(\overline{k}\) und \(K\) gegeben, von denen \(K\) als galoissch vorausgesetzt ist; \(\overline{K}\) sei der kleinste gemeinsame Oberkörper, \(k\) der größte gemeinsame Unterkörper von \(\overline{k}\) und \(K\). \(\overline{\mathfrak P}\) sei Primideal in \(\overline{K}\) und enthalte in \(k\), \(K\), \(\overline{k}\), \(k^*\) bzw. die Primideale \(\mathfrak p\), \(\mathfrak P\), \(\overline{\mathfrak p}\), \(\mathfrak p^*\). Verf. stellt nun die Frage nach der Zerlegungs-, der Trägheits- und den Verzweigungsgruppen \(\overline{\gamma}_0\), \(\overline…
zbMATH DE Number: 2555862
MaRDI profile type: Publication
author: Jacques Herbrand
description: scientific article; zbMATH DE number 2555862