Notes on the theory of series. XVI: Two Tauberian theorems.
In der Note XV aus dieser Reihe (Journal L. M. S. 6 (1931), 278-281; JFM 57.0323.*) wird als Hilfssatz ein Limitierungs-Umkehrsatz gebraucht, der in der vorliegenden besonderen Note bewiesen wird. Zunächst aber wird für einen Satz, der für ganzzahliges \(r\) und \(\delta = 1\) schon 1911 von \textit{Littlewood} und für nicht ganzzahlige \(r\) und \(\delta\) 1921 von \textit{Andersen} bewiesen worden ist, ein neuer, erheblich einfacherer Beweis gegeben: Wenn die Reihe \(\sum a_n \; A\)-summierbar und \(C_r\)-beschränkt ist \((r > - 1)\), so ist sie für jedes \(\delta > 0 \; C_{r+\delta}\)-summierbar. *-- Sodann der in sich selbst interessante Satz: Wenn die Reihe \(\sum a_n \; A\)-summierbar ist, so besteht die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß sie \(C_r\)-summierbar sei für ein \(r>- 1\), darin, daß für die Folge \(t_n = a_0 + 2 a_1 + \cdots + (n+1) a_n\) die \textit{Cesàro}schen Mittel \(r\)-ter Ordnung von der Größenordnung \(o (n)\) sind. -- Auf diese Sätze gestützt, wird endlich der in Rede stehende Satz bewiesen: Wenn die Reihe \(\sum a_n \; A\)-summierbar, wenn \(r> - 1\) ist, und wenn die eben genannten Mittel der \(t_n\) von der Ordnung \(O (n)\) sind, so ist sie \(C_{r+\delta}\)-summierbar für jedes \(\delta > 0\).
scientific article; zbMATH DE number 2556003