The validity of Lagrange's expansion.
Verf. sucht präzise Bedingungen für die Gültigkeit der \textit{Lagrange}schen Entwicklung \[ \displaylines{\rlap{(1)} \hfill f(y)=f(a)+\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k!} \, \frac{d^{k-1}}{da^{k-1}}\, [\{ \varPhi(a) \}^k f'(a)]; \hfill } \] dabei bedeutet \(y\) denjenigen Zweig der durch \[ y = a + x \varPhi(y) \] definierten Funktion \(y(x)\), der für \(x = a\) den Wert \(0\) annimmt. Als eine hinreichende Bedingung erhält er: Sind \(f(y)\) und \(\varPhi(y)\) in einem Intervall \((a- \delta, a + \delta)\) unendlich oft differenzierbar, und sind in diesem Intervall \[ \left| \frac{1}{n!} f^{(n)}(y) \right|^{\frac{1}{n}} \quad \text{und} \quad \left| \frac{1}{n!} \varPhi^{(n)}(y) \right|^{\frac{1}{n}} \] beschränkte Funktionen von \(n\) und \(y\), so besitzt \(f(y)\), als Funktion von \(x\) betrachtet, die gleichen Eigenschaften in einer Umgebung von \(x = 0\), und die Entwicklung (1) gilt in der Nähe von \(x = 0\).
scientific article; zbMATH DE number 2556077