On many-valued Riemann-Stieltjes integration. I.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On many-valued Riemann-Stieltjes integration. I.
zbMATH Open document ID: 57.0282.08
DOI: 10.1017/S0305004100009920
published in: Proceedings of the Cambridge Philosophical Society
publication date: 1931-01-01T00:00:00Z
review text: Die Ergebnisse der vorliegenden Abhandlung gelten fast sämtlich für Räume von beliebig vielen Dimensionen. Anknüpfend an die einwertigen Integrale definiert die Verf., indem sie sich auf die Ergebnisse ihrer Arbeit ``The algebra of many-valued quantities'' (Math. Ann. 104 (1931), 260-290; F. d. M. 57\(_{\text{II}}\)) stützt, das mehrwertige \textit{Riemann-Stieltjes}-Integral \[ \int\limits_{a}^{b} f(t)\, dg(t)) \] als die Menge der verschiedenen Grenzwerte \[ \lim\limits_{j \to \infty} \sum\limits_{i=1}^{n_j} f\left( \tau^{(j)}_i \right) \, \left( g\left( t^{(j)}_i \right) - g\left( t^{(j)}_{i-1} \right) \right); \] dabei ist \(\qquad \qquad a = t^{(j)}_0 < t^{(j)}_1 < \cdots t^{(j)}_{n_j} = b, \quad t^{(j)}_{i-1} \leqq \tau^{(j)}_{i} \leqq t^{(j)}_{i},\) \noindent und \[ \lim\limits_{j \to \infty} \underset{i=1,2 \cdots n_j} {\text{Max}} (t^{(j)}_{i} - t^{(j)}_{i-1}) = 0. \] Die Verf. befaßt sich dann mit dem Additionssatz, d. h. sie untersucht die Summe \[ \int\limits_{a}^{b} f(t)\, dg(t) + \int\limits_{b}^{c} f(t)\, dg(t) \qquad (a < b < c) \] und gelangt zu dem Resultat: Sind \(f(t)\) und \(g(t)\) in der Nähe von \(b\) beschränkt, und ist in dem von der Verf. definierten Sinne der Mehrdeutigkeit (vgl. ihre auf S. 282 unten angeführte Arbeit) \[ \lim\limits_{t \to b-0} f(t) = \lim\limits_{t \to b+0} f(t), \] so ist, ebenfalls im Sinne der Mehrdeutigkeit, \[ \int\limits_{a}^{b} f(t)\, dg(t) + \int\limits_{b}^{c} f(t)\, dg(t) = \int\limits_{a}^{c} f(t)\, dg(t) \qquad (a < b < c). \] Zu einem weiteren wichtigen Satz gelangt Verf., indem sie von einem eindeutigen \textit{Riemann-Stieltjes}schen Integral ausgeht: Ist \[ \int\limits_{a}^{t} h(t)\, dg(t) = G(t) \] einwertig, so ist für irgendeine beschränkte Funktion \(f(t)\) \[ \int\limits_{a}^{b} f(t)\, h(t)\, dg(t) = \int\limits_{a}^{b} f(t)\, dG(t) \] mehrwertig. Es wird eine Anzahl Sätze und Eigenschaften für diese Integrale abgeleitet.
zbMATH DE Number: 2556093
author: Rosalind Cecily. Young
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: s0305004100009920
OpenAlex ID: W2158451778
description: scientific article; zbMATH DE number 2556093