Notes on the theory of series. XIV: An additional note on the summability of Fourier series.
Die Verf. beweisen hier einen Satz, den sie schon in einer früheren Note (F. d. M. 52, 271 (JFM 52.0271.*)) ohne Beweis ausgesprochen haben, und verbessern einen kleinen Fehler, der damals in der Formulierung des Satzes stehen geblieben war. Der Satz lautet: Wenn \(f(t)\) integrierbar ist, wenn \[ \varphi(t)=\tfrac 12 [f(x+t)+f(x-t)-2s] \] gesetzt wird, und wenn mit einem \(p\geqq 1\) für \(t\to 0\) \[ \int\limits_0^t|\varphi(u)|^p\,du =O(t) \] ist, so ist die \textit{Fourier}reihe für \(f(t)\) an der Stelle \(t=x\) entweder von jeder positiven oder überhaupt von \textit{keiner} Ordnung \(C\)-summierbar. Die notwendige und hinreichende Bedingung für die \(C\)-Summierbarkeit besteht darin, daß für jedes \(r > \dfrac 1p\) \[ C_r\text{-}\lim \varphi(t) = 0 \] ist. An Beispielen wird gezeigt, daß die Bedingung \(r > \dfrac 1p\) sich weder für \(p > 1\) noch für \(p = 1\) verschärfen läßt.
scientific article; zbMATH DE number 2556245