Some theorems on orthogonal functions. I.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Some theorems on orthogonal functions. I.
zbMATH Open document ID: 57.0335.02
author: R. E. A. C. Paley
published in: Studia Mathematica
publication date: 1931-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/217566
review text: Die beiden Sätze, die \textit{Hardy} und \textit{Littlewood} (1931; JFM 57.0315.*) für \textit{Fourier}reihen bewiesen haben, werden auf beliebige Reihen, die nach Orthogonalfunktionen fortschreiten, ausgedehnt. Verf. erhält so die beiden folgenden Sätze, bei denen \(\vartheta_0(t)\), \dots, \(\vartheta_n(t)\), \dots ein System gleichmäßig beschränkter normierter Orthogonalfunktionen für das Intervall \(<0,1>\) mit der gemeinsamen Schranke \(B\) bedeuten, bei denen ferner \((c_n)\) eine gegebene Nullfolge und \((d_n)\) die nach fallenden Beträgen umgeordnete Folge der \(|c_n|\) sein soll: (I) Ist \[ S_q=\sum d_n^2(n+1)^{q-2} \] für ein \(q \geqq 2\) konvergent, so ist \[ f(t)= \sum c_n\vartheta_n(t) \] eine Funktion der Klasse \(L^q\), und es gilt für das Integral \[ I_q=\int_0^1 |f(t)|^q\,dt \] wie bei \textit{Hardy-Littlewood} die Abschätzung \(I_q\leqq A_qS_q\), bei der \(A_q\) nur von \(q\) und \(B\) abhängt. (II) Ist \[ f(t)=\sum c_n\vartheta_n(t) \] für ein \(p\) in \(1 <p \leqq 2\) eine Funktion der Klasse \(L^p\), so ist umgekehrt \(S_p\leqq A_pI_p\). Zum Schluß wird gezeigt, daß die Abschätzung von \(I_q\) in (I) auch noch gültig bleibt, wenn in der Definition von \(I_q\) für \(|f(t)|\) die Funktion \[ S(t)=\operatornamewithlimits{fin\,sup}\limits_{m=0,1,2,\ldots} \left|\sum_{n=0}^m c_n\vartheta_n(t)\right| \] eingesetzt wird.
zbMATH DE Number: 2556274
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W1020915802
DOI: 10.4064/SM-3-1-226-238
description: scientific article; zbMATH DE number 2556274