Über den Schottkyschen Satz.
Es sei \[ \omega(x)=x^k+c_1x^{k-1}+\cdots + c_k=(x-\xi_1) \cdots(x-\xi_k), \] \(k\geqq 2\). Es seien die \(a_i(x)\) Polynome von niedrigerem Grade. Ist dann \[ F(x)=\sum_0^\infty a_n(x)(\omega(x))^n \] für \(|\omega(x)|< R\) konvergent und daselbst \(F(x)\neq 0\), \(F(x)\neq 1\), ist ferner \[ \operatornamewithlimits{Max}\limits_{\omega(x)=0}|a_0(x)|\leqq \lambda, \] so ist für \(0< \vartheta< 1\) \[ |F(x)|<S^*(\lambda,\vartheta,k) \] in \(|\omega(x)\leqq \vartheta R\), wofern \(|\omega(x)\leqq R\) ein Kontinuum ist. \(S^*\) ist also von den Nullstellen \(\xi_i\) des Polynoms \(\omega(x)\) und von den \(a_i(x)\) unabhängig. Außerdem gibt es zu jedem \(\lambda>0\), \(\mu>0\) und zu jeder ganzen positiven Zahl \(n\) ein \(L(\lambda,\mu,n,k)\) derart, daß jedes \(F(x)\) mit \[ \operatornamewithlimits{Max}\limits_{\omega(x)=0}|a_0(x)|\leqq \lambda, \quad \operatornamewithlimits{Max}\limits_{\omega(x)=0} |a_n(x)|\geqq \mu, \] das in \(|\omega(x)|\leqq\) Max \((L,M)\) konvergiert, in diesem Bereich mindestens einmal gleich 0 oder 1 wird. Dabei ist \(M\) durch \[ M=\operatornamewithlimits{Max}\limits_{\omega'(x)=0}|\omega(x)| \] definiert.
scientific article; zbMATH DE number 2556328