Recherches sur quelques problèmes relatifs aux polynomes et aux fonctions bornées d'une variable complexe.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Recherches sur quelques problèmes relatifs aux polynomes et aux fonctions bornées d'une variable complexe.
zbMATH Open document ID: 57.0355.02
published in: Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Troisième Série
publication date: 1931-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: http://www.numdam.org/item
full work available at URL: https://eudml.org/doc/81479
review text: Im ersten Kapitel der vorliegenden Arbeit werden von \textit{M. Biernacki} (1927; JFM 56.0863.*) begonnene Untersuchungen fortgesetzt. Es werden Polynome \[ 1+a_1x+ \cdots + a_px^p+a_{p+1}x^{p+1}+ \cdots +a_nx^n \] betrachtet. Dabei sollen \(a_1,\ldots,a_p\) fest gegebene Werte haben, und es sollen \(a_{p+1},\ldots, a_n\) variabel sein. Es handelt sich darum, die kleinste Zahl \(\varrho_\nu\) anzugeben derart, daß im Kreise \(|x|\leqq \varrho_\nu\) jedes der Polynome mindestens \(\nu\) Wurzeln hat (\(\nu=1, 2, \ldots,p\)). Nach Verschärfung eines Lemmas von \textit{Biernacki} entwickelt Verf. ein Verfahren zur Berechnung von \(\varrho_\nu\). Für gewisse Typen von Polynomen wird die Berechnung dann durchgeführt: \[ 1+x^2+a_3x^3+ \cdots+a_{n-2}x^{n-2}+a_nx^n=0 \quad (a_n\neq 0); \] Verf. findet als genaue Schranken: \[ \begin{gathered} \varrho_1=\sqrt{\frac n2}\quad \text{für gerade}\quad n,\quad \varrho_1=\sqrt{\frac{n(n-3)}{2(n-1)}}\quad \text{für ungerade}\quad n,\\ \varrho_2=\sqrt{\frac{n(n-3)}2}. \end{gathered} \] \[ 1+x^2+a_3x^3+ \cdots + a_nx^n=0; \tag{2} \] \[ \begin{gathered} \varrho_1=\sqrt{\frac n2}\quad \text{für gerade}\quad n,\quad \varrho_1=\sqrt{\left[\frac n2\right]}\quad \text{für ungerade}\quad n,\\ \varrho_2=\sqrt{\frac{n(n-1)}2}. \end{gathered} \] (\textit{Van Vleck, Biernacki}). \[ 1+x^2+a_4x^4+ \cdots + a_nx^n=0; \tag{3} \] \[ \varrho_1=\sqrt{\left[\frac n2\right]}, \quad \varrho_2 \sim \sqrt{\frac n2}. \] \[ 1+a_1x+ \cdots + a_nx^n=0; \quad (a_1,a_2,\ldots, a_p \;\text{fest}); \tag{4} \] wegen der Formulierung des Ergebnisses sei auf die Arbeit verwiesen. Im zweiten Teil von Kap. I handelt es sich um die Bestimmung der Minimalzahl der Wurzeln des Polynoms \[ 1+x^p+ a_1x^{n_1}+ a_2x^{n_2} \quad (p<n_1<n_2), \] die in \(|x|\leqq 1\) gelegen sind. Dabei sind \(p\), \(n_1\), \(n_2\) fest, \(a_1\), \(a_2\) variabel. Verf. findet eine untere Schranke für diese Anzahl. Ist z. B. \(p\) gerade, und wird \(\varrho=\left|\dfrac{a_2}{a_1}\right|\) gesetzt,…
zbMATH DE Number: 2556332
author: Jean A. Dieudonné
reviewed by: L. Prof. Bieberbach
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W394570415
DOI: 10.24033/ASENS.812
description: scientific article; zbMATH DE number 2556332