On two theorems of Akhyeser and a theorem of Cramér.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On two theorems of Akhyeser and a theorem of Cramér.
zbMATH Open document ID: 57.0361.01
DOI: 10.1007/BF03016788
author: P. L. Srivastava
published in: Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo
publication date: 1931-01-01T00:00:00Z
review text: \textit{Akhyeser} hat 1927 (F. d. M. 53, 414 (JFM 53.0414.*)) zwei Sätze aufgestellt. Zu dem einen gibt Verf. ein Gegenbeispiel. Den andern verallgemeinert er nach präzisierter Formulierung und folgert ihn aus den Sätzen von \textit{Phragmén-Lindelöf}. So ergibt sich folgender Satz: \(\varphi(z)\) sei eine ganze Funktion, für die \[ |\varphi(z)|<e^{(1+\delta)\varrho^p} \quad (p>0) \tag{1} \] für jedes \(\delta > 0\) und \(|z|=\varrho>\varrho_0(\delta)\); \[ \left|\varphi\left(\varrho\exp \left(i\frac \alpha{2p}\right)\right)\right|< A\exp \left(-\left(\cos \frac \alpha 2+\varepsilon\right)\varrho^p\right) \tag{2} \] für alle \(\varrho>0\), \(0<\alpha < \pi\) und gegebene \(A>0\), \(\varepsilon>0\); \[ \left|\varphi\left(\varrho\exp \left(-i\frac \alpha{2p}\right)\right)\right|< \exp \left(\left(-\cos\frac\alpha 2+\eta\right)\varrho^p\right) \tag{3} \] für jedes \(\eta> 0\) und \(\varrho > \varrho_0(\eta)\) gilt. Dann ist \[ \varphi(z)\equiv 0. \] Weiter wird ein Satz von \textit{Cramér} (1918; F. d. M. 46, 489 (JFM 46.0489.*)) in folgender Fassung ausgesprochen und bewiesen: Es sei \(\varphi(z)\) eine ganze Funktion; es sei \[ |\varphi(z)|<e^{(k+\varepsilon)\varrho} \quad (k>0) \] für jedes \(\varepsilon\) und \(|z|=\varrho > \varrho_0(\varepsilon)\), und \(|\arg|\leqq \pi\); es sei \[ \varphi(z)=O(|x|^\alpha e^{kx}) \] für \(|x| \to \infty\), \(x=\Re (z)\). Dann ist \[ \varphi(x)\equiv P(z)e^{kz}, \] wo \(P(z)\) ein Polynom höchstens \(\alpha\)-ten Grades ist.
zbMATH DE Number: 2556341
reviewed by: L. Prof. Bieberbach
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description: scientific article; zbMATH DE number 2556341