Sur les propriétés-limites du module des fonctions entières d'ordre fini.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Sur les propriétés-limites du module des fonctions entières d'ordre fini.
zbMATH Open document ID: 57.0362.03
DOI: 10.1007/BF01457946
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1931-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/159473
review text: \(g(z)=\sum\limits_0^\infty c_nz^n\) sei eine ganze Funktion der Ordnung \(\varrho=\sigma^{-1}\) vom Typus 1, d. h. es sei \[ \limsup_{n\to \infty} n^\sigma |c_n|^{\frac 1n}=\left(\frac e\sigma\right)^\sigma. \] Dann besteht ein Zusammenhang zwischen dem Wachstum von \(g(z)\) auf den Geraden \(\arg z = \varphi\) und der Lage der Ecken des Hauptsterns von \[ f(z)=\sum_0^\infty \varGamma(\sigma n+\tau)c_nz^n. \] \(\tau\) ist ein positiver Parameter. Sind nämlich \((R_\varphi,\varphi)\) die Koordinaten der Ecken des Hauptsterns, so ist \[ \limsup_{p\to \infty} |g(p^\sigma e^{i\varphi})^{\frac 1p}=R_\varphi^{-1}. \] Hieraus werden durch Anwendung bekannter Sätze von \textit{Fabry}, \textit{Vivanti-Borel-Dienes}, \textit{Pólya} verschiedene spezielle Folgerungen gezogen. Auch wird dargelegt, wie das Ergebnis eine allgemeine Methode zur Darstellung des asymptotischen Verhaltens ganzer Funktionen liefert.
zbMATH DE Number: 2556346
author: M. Th. Subbotin
reviewed by: L. Prof. Bieberbach
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2556346