Über multiplikative Funktionen und die daraus entspringenden Differentialsysteme.
Es werden Funktionen der Gestalt \[ R(z)\textstyle\prod\limits_{\nu =0}^{n}\displaystyle (z-a_\nu )^{\alpha _\nu } \] (\(\alpha _\nu \) und \(\sum \alpha _\nu \) nicht ganzzahlig, \(R(z)\) regulär mit Polen höchstens bei \(a_\nu \) und \(\infty\)) betrachtet, die also nur multiplikativ verzweigt sind. Alle diese Funktionen werden bei festen Verzweigungspunkten \(a_\nu \) und festen Exponenten \(\alpha _\nu \) zu einer Klasse \(k_0\) zusammengefaßt. Ersetzt man \(\alpha _\nu \) durch \(-\alpha _\nu \), so entsteht die komplementäre Klasse \(\breve{k}\). Beide Klassen enthalten je \(n\) Basisfunktionen, derart daß sich jede Funktion der Klasse linear homogen mit konstanten Koeffizienten aus den Basisfunktionen und der Ableitung einer Klassenfunktion darstellen läßt. Ferner kann man für jede der beiden Klassen je \(n\) Basiswege angeben, derart daß sich das Integral irgendeiner Basisfunktion über einen geschlossenen Weg linear homogen mit konstanten Koeffizienten aus den Integralen über die Basiswege zusammensetzen läßt. Integriert man die Basisfunktionen über die Basiswege, so entstehen zwei quadratische Periodenmatrizen, zwischen deren Elementen \(n^2\) bilineare Beziehungen bestehen. Hierauf werden die Integrale als Funktionen eines Parameters \(u\) betrachtet, von dem die Verzweigungspunkte algebraisch abhängen. Jede der obigen Periodenmatrizen liefert dabei ein Hauptsystem je eines verkürzten Systems von \(n\) gewöhnlichen linearen Differentialgleichungen erster Ordnung mit rationalen Koeffizienten. Aus den Periodenbeziehungen erhält man folgenden Hauptsatz: Bei geeigneter Wahl der Basiswege liefern die beiden Hauptsysteme (abgesehen von bestimmten Faktoren) Basissysteme zueinander komplementärer \textit{Riemann}scher Funktionsklassen, d. h. die zu den einzelnen singulären Punkten gehörigen Umlaufsubstitutionen \(M\), \(M'\) sind zueinander komplementär (\(M'\) ist die Transponierte von \(M^{-1}\)). Als Beispiel wird der von \textit{L. Schlesinger} betrachtete ``hypergeometrische Fall'' (\(u=a_0\), die übrigen Verzweigungspunkte \(a_\nu \) fest) behandelt. Die für die Abhandlung benötigte Theorie der \textit{Riemann}schen Transzendenten von \textit{R. König} wird in einem einleitenden Abschnitt zusammengestellt. Die Arbeit ist sehr klar und übersichtlich angeordnet. Den ``hypozykloidischen Fall'' \[ \varPi =z^\alpha (z^n-nzu+n-1)^\beta \] hat Verf. im Anschluß an die Abhandlung von \textit{R. König} und ihm selbst (1930; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 300-301) in seiner nachstehend angezeigten Arbeit ``Über die komplementäre Klasse bei den hypozykloidischen Funktionssystemen'' ausführlich durchgerechnet.
scientific article; zbMATH DE number 2556637