Darstellung der eigentlich-automorphen Formen (\(-2\))-ter Dimension durch eine Art Poincaréscher Reihen bei gewissen Grenzkreisgruppen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Darstellung der eigentlich-automorphen Formen (\(-2\))-ter Dimension durch eine Art Poincaréscher Reihen bei gewissen Grenzkreisgruppen.
zbMATH Open document ID: 57.0452.02
DOI: 10.1007/BF01455815
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1931-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/159509
review text: Die vorliegende Arbeit schließt an eine frühere Arbeit des Verf. (1930; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 330) an. Es sei \(\varGamma (N)\) eine Hauptkongruenzuntergruppe \(N\)-ter Stufe und \[ G_{-2}(s;\tau ;A,N; R)= \kern-5pt\textstyle \sum\limits_{M\subset\mathfrak S (A)}\displaystyle \frac{R\biggl(\exp\Bigl(2\pi i\,\dfrac{M\tau }{N}\Bigr)\biggr)} {(m_1\tau +m_2)^2\,|\,m_1\tau +m_2\,|^s}, \] wo über alle Matrizen der Nebengruppe \(A\varGamma (N)\subset \varGamma (1)\) mit verschiedenen zweiten Zeilen \(\{m_1, m_2\}\) summiert wird und \(R(z)\) eine rationale Funktion von \(z\) ohne Pole auf dem Einheitskreise ist. \(G_{-2}\) konvergiert gleichmäßig und absolut in jedem polfreien abgeschlossenen Gebiet der oberen \(\tau \)-Halbebene, wenn der Realteil von \(s > 0\) ist. Verf. beweist, daß \(G_{-2}(s)\) bis zur Geraden \(R(s)=-\frac{1}{4}\) fortsetzbar ist. Ist \(R(z)\) einer der drei Typen: \[ \begin{aligned} \qquad&R(z)=z^\nu,\;\nu \not=0\;\text{ganz rational;}\\ &R(z)=\frac{1}{(z-q)^g},\;g>0\;\text{ganz rational},\;|\,q\,|<1,\;q=\exp\;\biggl(2\pi i\frac{A\omega }{N}\biggr);\\ &R(z)=\frac{1}{(z-q)^g}-(-q)^{-g},\;g>0\;\text{ganz rational},\;|\,q\,|>1,\end{aligned} \] so ist \(G_{-2}(s)\) bei festem \(\tau \) in der genannten Halbebene sogar regulär, und ihre Nullwerte sind eigentliche automorphe Formen (\(-2\))-ter Dimension für \(\varGamma (N)\). Das Verhalten in allen parabolischen Spitzen von \(\varGamma (N)\) kann in jedem der drei Fälle angegeben werden. Ist \(f(\tau )\) eine beliebige Modulform \(N\)-ter Stufe und der Dimension \(-2\), so kann man sie als Linearkombination von endlich vielen der Funktionen \(G_{-2}\; (0; \tau ; A, N; R)\) darstellen, wenn \(R(z)\) eine geeignet gewählte rationale Funktion von \(z\) ist. Dieser Satz wird mit Hilfe des \textit{Ritter}schen Ansatzes bewiesen.
zbMATH DE Number: 2556643
author: Hans Petersson
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2556643