Bemerkungen über belastete Integralgleichungen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Bemerkungen über belastete Integralgleichungen.
zbMATH Open document ID: 57.0463.02
author: L. Lichtenstein
published in: Studia Mathematica
publication date: 1931-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/217565
review text: Manche Probleme der mathematischen Physik, insbesondere auch die Untersuchungen des Verf. über die Gleichgewichtsfiguren rotierender, nicht homogener Flüssigkeiten, führen auf Integralgleichungen, bei denen sich die Integrale nicht nur über das eigentliche, der Betrachtung zugrunde liegende Gebiet, sondern auch über seine Berandung oder sonstige ausgezeichnete Flächen, Linien oder Punkte erstrecken, und die in der \textit{Kneser}schen Bezeichnungsweise (1914; F. d. M. 45, 524 (JFM 45.0524.*)-525) belastete Integralgleichungen heißen. Auf eine solche Gleichung kann auch das Problem zurückgeführt werden, die im Gebiet \(T\) nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung stetige Lösung \(u(x, y)\) der partiellen Differentialgleichung \[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + a \frac{\partial u}{\partial x} + b \frac{\partial u}{\partial y} + cu = f \] zu bestimmen, die auf dem Rande \(S\) von \(T\) verschwindet und in den durch den Querschnitt \(S_0\) erzeugten Teilgebieten \(T_1\) und \(T_2\) stetige partielle Ableitungen zweiter Ordnung hat. Verf. führt an Hand der speziellen belasteten Integralgleichung \[ \varphi(\tau)+\lambda \int\limits_{T} \overset{1} {K}(\tau, {\tau}') \varphi({\tau}') \, d {\tau}' + \lambda \int\limits_{S} \overset{2} {K}(\tau, {\sigma}') \varphi({\sigma}') \, d {\sigma}' = f(\tau) \tag{1} \] einen Beweis, daß für derartige Gleichungen bei geeigneter Schreibweise die klassischen \textit{Fredholm}schen Auflösungsformeln gelten. Der Grundgedanke des Beweises ist, daß die Lösung \(\varphi_h(\tau)\) der Integralgleichung \[ \varphi_h(\tau)+\lambda \int\limits_{T} K_h(\tau, {\tau}') \varphi_h({\tau}') \, d {\tau}' = f(\tau) \tag{2} \] gegen die Lösung von (1) konvergiert. Dabei bezeichnet \(h > 0\) eine hinreichend kleine Zahl, \(T_h\) das ganz im Innern von \(T\) gelegene Gebiet, dessen Punkte von \(S\) um mindestens \(h\) entfernt sind, und \(K_h(\tau, {\tau}')\) den approximierenden Kern \[ K_h(\tau, {\tau}') …
zbMATH DE Number: 2556666
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W852730248
DOI: 10.4064/SM-3-1-212-225
description: scientific article; zbMATH DE number 2556666