Zur Theorie der impliziten Funktionaloperationen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Zur Theorie der impliziten Funktionaloperationen.
zbMATH Open document ID: 57.0471.03
author: Jianyong Qiao
author: Sumit K. Garg
published in: Studia Mathematica
publication date: 1931-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/217577
review text: Den Hauptgegenstand der vorliegenden Arbeit bildet die Untersuchung impliziter, nicht linearer Operationen in abstrakten Räumen. Als Vorbereitung für diese Untersuchungen werden zuerst einige Überlegungen allgemeinerer Art angestellt: {\S} 1 befaßt sich mit gewissen linearen Operationen. Zugrundegelegt sei ein \textit{Banach}scher (linearer, normierter und vollständiger) Raum (vgl. \textit{S. Banach}, 1922; F. d. M. 48, 201 (JFM 48.0201.*)-202), dessen Elemente mit \(X, X_0,\ldots\), ihre Normen mit \(||X||, ||X_0||,\ldots\) bezeichnet werden, und ein beliebiger metrischer Raum, dessen Elemente mit \(P,P_0,\ldots\) bezeichnet werden. \(F(P,X)\) sei eine Operation, die jedem \(P\) einer Umgebung eines bestimmten Elements \(P_0\) und jedem \(X\) ein Element eines (im allgemeinen vom \(X\)-Raum verschiedenen) \textit{Banach}schen Raumes zuordnet; \(F(P,X)\) sei in bezug auf \(X\) linear, d. h. additiv und stetig, und in bezug auf \(P\) für \(P_0\) stetig. Dann existieren für jedes \(P\) (eventuell von \(P\) abhängige) positive Zahlen \(m\), mit denen für alle \(X\) die Ungleichung \[ ||F(P,X)|| \leqq m ||X|| \] erfüllt ist. Die kleinste Zahl \(m\), die diese Eigenschaft hat, werde mit \(m_F(P)\) bezeichnet; sie heißt die Norm der Operation \(F(P,X)\) für die Stelle \(P\). Das Verhalten dieses Funktionals \(m_F(P)\) im Punkte \(P_0\) und seiner Umgebung bildet den Gegenstand der Untersuchung. Werden unterer bzw. oberer Limes von \(m_F(P)\) in \(P_0\) mit \(\underline{m}_F(P_0)\) bzw. \(\overline{m}_F(P_0)\) bezeichnet, so gilt: (1) Es ist \[ \underline{m}_F(P_0) = m_F(P_0), \] also \(m_F(P)\) in \(P_0\) nach unten stetig. (2) Es ist \(\overline{m}_F(P_0)\) endlich, doch braucht nicht \[ \overline{m}_F(P_0) = m_F(P_0) \] zu gelten. Ist jedoch jede beschränkte Folge des \(X\)-Raumes kompakt, so gilt auch \[ \overline{m}_F(P_0) = m_F(P_0); \] das Funktional \(m_F(P)\) ist also dann in \(P_0\) stetig. (3) Aus der Endlichkeit von \(\overline{m}_F(P_0)\) folgt noch, daß \(F(P…
zbMATH DE Number: 2556688
Wikidata QID: Q108810742
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W817365611
DOI: 10.4064/SM-3-1-156-173
description: scientific article; zbMATH DE number 2556688