Note one some self-reciprocal functions in the double Fourier transform.
Es handelt sich um die \textit{Fourier}transformation \[ \varPsi(y_1,y_2) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \varPhi(x_1,x_2) \, e^{2 \pi i (x_1y_1+x_2y_2)} \, dx_1 \, dx_2. \] Unter gewissen Einschränkungen für \(f(r)\) gut der folgende Satz: Es sei \(n \geqq 0\) ganz. Wenn in Polarkoordinaten \[ \varPhi(x_1,x_2) = f(r) \, \cos \, n \vartheta \] ist, so ist \[ \varPsi(y_1,y_2) = 2 \pi i^n g(\varrho) \, \cos \, n \varphi, \] wobei \(g(\varrho)\) die \textit{Bessel}sche Transformierte \[ g(\varrho) = \int\limits_{0}^{\infty} f(r) \, J_n (2 \pi r \varrho) \, r \, dr \] ist. Der Beweis wird formal geführt. Hieraus folgt leicht ein weiterer Satz, der mittels \textit{Bessel}scher Selbstreziproker \(f(r)\) selbstreziproke Funktionen \(\varPhi(x_1,x_2)\) liefert. Eine Reihe von Beispielen wird gegeben. (IV 6 B.)
scientific article; zbMATH DE number 2556707