Mathematical notes (9): On functions subharmonic in a circle. III.
Von einer Funktion \(w (r, \theta)\) der reellen Veränderlichen \(r\), \(\theta\) (\(0\leqq r<1\), \(-\pi\leqq\theta\leqq+\pi\)) werde gesagt: (a) sie genüge der Bedingung \((p)\), wenn für \(r\to 1\) \[ \frac1{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{+\pi}|w(r,\theta)|^pd\theta=O(1); \] (b) sie konvergiere stark mit dem Index \(q\) gegen \(W(\theta)\), wenn für \(r\to 1\) \[ \int\limits_{-\pi}^{+\pi}|w(r,\theta)-W(\theta)|^qd\theta\to 0. \] In Vervollständigung und Zusammenfassung früherer Ergebnisse (1928, F. d. M. 54, 516 (JFM 54.0516.*)) beweist Verf. folgenden Satz: Es sei \(w(r, \theta)\) subharmonisch in \(r<1\) und genüge einer Bedingung (\(p\)). Ist dann \(p\geqq 1\), so besitzt \(w(r,\theta)\) für fast alle \(\theta\) einen radialen Limes \(W(\theta)\). Dieses \(W(\theta)\) ist zugleich starker Limes von \(w(r, \theta)\) mit einem Index \(q\), falls \(q < p\). -- Die Frage, was für \(q = p\) ausgesagt werden könne, wird beantwortet, wie folgt: Ist \(p > 1\), so ist \(W(\theta)\) starker Limes von \(w (r, \theta)\) mit dem Index \(p\) wenigstens dann, wenn \(w (r, \theta)\) harmonisch ist; andernfalls existiert nicht notwendig ein starker Limes. Ist \(p = 1\), so existiert nicht notwendig ein starker Limes mit dem Index \(p =1\), selbst dann nicht, wenn \(w(r, \theta)\) harmonisch ist. -Die Frage nach den Verhältnissen bei \(p<1\) ergibt folgendes: Es braucht weder ein radialer Limes fast überall zu existieren, noch ein starker Limes bei irgend einem \(q\).
scientific article; zbMATH DE number 2557044