Mathematical notes (9): On functions subharmonic in a circle. III.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Mathematical notes (9): On functions subharmonic in a circle. III.
zbMATH Open document ID: 57.0581.03
author: J. E. Littlewood
published in: Proceedings of the London Mathematical Society. Second Series
publication date: 1931-01-01T00:00:00Z
review text: Von einer Funktion \(w (r, \theta)\) der reellen Veränderlichen \(r\), \(\theta\) (\(0\leqq r<1\), \(-\pi\leqq\theta\leqq+\pi\)) werde gesagt: (a) sie genüge der Bedingung \((p)\), wenn für \(r\to 1\) \[ \frac1{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{+\pi}|w(r,\theta)|^pd\theta=O(1); \] (b) sie konvergiere stark mit dem Index \(q\) gegen \(W(\theta)\), wenn für \(r\to 1\) \[ \int\limits_{-\pi}^{+\pi}|w(r,\theta)-W(\theta)|^qd\theta\to 0. \] In Vervollständigung und Zusammenfassung früherer Ergebnisse (1928, F. d. M. 54, 516 (JFM 54.0516.*)) beweist Verf. folgenden Satz: Es sei \(w(r, \theta)\) subharmonisch in \(r<1\) und genüge einer Bedingung (\(p\)). Ist dann \(p\geqq 1\), so besitzt \(w(r,\theta)\) für fast alle \(\theta\) einen radialen Limes \(W(\theta)\). Dieses \(W(\theta)\) ist zugleich starker Limes von \(w(r, \theta)\) mit einem Index \(q\), falls \(q < p\). -- Die Frage, was für \(q = p\) ausgesagt werden könne, wird beantwortet, wie folgt: Ist \(p > 1\), so ist \(W(\theta)\) starker Limes von \(w (r, \theta)\) mit dem Index \(p\) wenigstens dann, wenn \(w (r, \theta)\) harmonisch ist; andernfalls existiert nicht notwendig ein starker Limes. Ist \(p = 1\), so existiert nicht notwendig ein starker Limes mit dem Index \(p =1\), selbst dann nicht, wenn \(w(r, \theta)\) harmonisch ist. -Die Frage nach den Verhältnissen bei \(p<1\) ergibt folgendes: Es braucht weder ein radialer Limes fast überall zu existieren, noch ein starker Limes bei irgend einem \(q\).
zbMATH DE Number: 2557044
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: s2-32.1.222
OpenAlex ID: W4255665506
DOI: 10.1112/PLMS/S2-32.1.222
description: scientific article; zbMATH DE number 2557044