Intersection complexes. I: Combinatory theory.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Intersection complexes. I: Combinatory theory.
zbMATH Open document ID: 57.0715.03
DOI: 10.1017/S0305004100009749
author: M. H. A. Newman
published in: Proceedings of the Cambridge Philosophical Society
publication date: 1931-01-01T00:00:00Z
review text: Kombinatorische Darstellung der Schnitttheorie von Komplexen in Mannigfaltigkeiten, wobei die Existenz zweier dualer Unterteilungen einer Mannigfaltigkeit nicht benutzt wird. Formale Hilfsmittel: Komplexe sind Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten in gewissen Unbestimmten \(\alpha, \beta, \dots\), den Eckpunkten; sie dürfen nach den üblichen Rechenregeln addiert und multipliziert werden, jedoch tritt an Stelle des kommutativen Gesetzes der Multiplikation: \[ \alpha \beta = -\beta \alpha \] (also \(\alpha\alpha = 0\)). \(C_m = \sum\limits_i x_i A_n^i\) bezeichnet einen homogenen Komplex; dabei stehen die \(A_n^i\) für Produkte der Form \(A_n = \alpha_0 \alpha_1 \dots \alpha_n\), die \(n\)-dimensionalen Simplexe. Die \(C_{-1}\) sind Konstanten; der Nullkomplex (alle \(x_i = 0\)) tritt für jede Dimension auf. -Das Produkt zweier eckenfremder Simplexe ist wieder ein Simplex, so daß man, wenn \(A_n = e A_k A_{n-k-1}\) \((e = \pm 1)\) ist, einen Quotienten \[ A_n/A_k = e A_{n-k-1} \] definieren kann; man setzt \(A_n/A_k = 0\), wenn eine Ecke von \(A_k\) nicht in \(A_n\) vorkommt. Der Rand von \(A_n\) wird dann \(\overset{\frown}{A}_n = \sum\limits_i A_n/\alpha_i\). Allgemein: \[ C_n/A_k = \sum_i x_i (A_n^i/A_k), \qquad \overset{\frown}{C}_n = \sum_i x_i \overset{\frown}{A}_n^i. \] \(A_k(C_n/A_k)\) ist der Stern von \(A_k\) in \(C_n\), \(C_n/A_n^i = x_i\) der Koeffizient von \(A_n^i\) in \(C_n\). Wenn für ein \(i\) \[ x_i (A_n^i/ A_k) \neq 0 \] ist, heißt \(A_k\) eine \(k\)-Komponente von \(C_n\); \(+1\) wird als einzige \((-1)\)-Komponente jedes von 0 verschiedenen \(C_n\) aufgefaßt. -- Außer dem Quotientenkalkül, der eine kurze und übersichtliche Schreibweise ermöglicht, wird der kombinatorisch leicht zu beschreibende Prozeß der baryzentrischen Unterteilung gebraucht, dessen \(s\)-mal wiederholte Anwendung auf \(C_n\) mit \({}^sC_n\) bezeichnet wird. Zyklen und Homologien werden wie üblich definiert. Für \(n\)-dimensionale Mannigfaltigkeiten \(M_n\) und Sphären \(\varP…
reviewed by: Erika Dr. Pannwitz
zbMATH DE Number: 2557648
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2557648